Хорды EF и РК пересекаются в точке М. Найдите РК, если EM = 3 см, MF = 8 см, а РМ на 2 см длиннее МК.

Решение:

1. По теореме о пересекающихся хордах в окружности, произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды. Для хорд EF и PK, пересекающихся в точке M, это означает:

\( EM \cdot MF = PM \cdot MK \)

2. Из условия известно, что EM = 3 см и MF = 8 см.

3. Также известно, что PM на 2 см длиннее MK. Обозначим MK через \( x \) см. Тогда PM = \( x + 2 \) см.

4. Подставим известные значения и выражения в формулу:

\( 3 \cdot 8 = (x + 2) \cdot x \)

\( 24 = x^2 + 2x \)

5. Перепишем уравнение в виде квадратного:

\( x^2 + 2x - 24 = 0 \)

6. Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 4 + 96 = 100 \).

7. Корни уравнения:

\( x_1 = \frac{-2 + \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 10}{2} = \frac{8}{2} = 4 \)

\( x_2 = \frac{-2 - \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 10}{2} = \frac{-12}{2} = -6 \)

8. Так как MK — это длина отрезка, она не может быть отрицательной. Поэтому \( x = 4 \) см.

9. Следовательно, MK = 4 см.

10. Найдем длину PM: PM = \( x + 2 = 4 + 2 = 6 \) см.

11. Длина хорды PK равна сумме длин отрезков PM и MK:

\( PK = PM + MK = 6 + 4 = 10 \) см.

Ответ: PK = 10 см.