Хорды КМ и РТ пересекаются в точке С, КС= 7 см, СМ = 4 см, РТ = 16 см. Найдите отрезки РС и СТ.

Краткая запись:

• Пересечение хорд: Точка C
• KC = 7 см
• CM = 4 см
• PT = 16 см
• Найти: PC — ?, CT — ?

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Запишем теорему о пересекающихся хордах для хорд KM и PT. Произведение отрезков хорды KM равно произведению отрезков хорды PT:
   KC · CM = PC · CT
2. Шаг 2: Подставим известные значения:
   7 см · 4 см = PC · CT
   28 = PC · CT
3. Шаг 3: Мы знаем, что длина хорды PT равна 16 см, и она состоит из отрезков PC и CT. Следовательно:
   PC + CT = 16 см
4. Шаг 4: Теперь у нас есть система из двух уравнений:
   
   • 1) PC · CT = 28
   • 2) PC + CT = 16
5. Шаг 5: Выразим один отрезок через другой из второго уравнения. Например, CT = 16 - PC.
6. Шаг 6: Подставим это выражение в первое уравнение:
   PC · (16 - PC) = 28
   16PC - PC² = 28
7. Шаг 7: Приведем полученное уравнение к стандартному квадратному виду:
   PC² - 16PC + 28 = 0
8. Шаг 8: Решим квадратное уравнение, найдя дискриминант (D):
   D = b² - 4ac = (-16)² - 4 · 1 · 28 = 256 - 112 = 144
   \( \sqrt{D} = \sqrt{144} = 12 \)
9. Шаг 9: Найдем корни уравнения (значения PC):
   PC₁ = \( \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{16 + 12}{2} = \frac{28}{2} = 14 \) см
   PC₂ = \( \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{16 - 12}{2} = \frac{4}{2} = 2 \) см
10. Шаг 10: Теперь найдем соответствующие значения CT для каждого значения PC, используя уравнение CT = 16 - PC:
    Если PC = 14 см, то CT = 16 - 14 = 2 см.
    Если PC = 2 см, то CT = 16 - 2 = 14 см.

Ответ: PC = 14 см, CT = 2 см или PC = 2 см, CT = 14 см