Хозяин выбрал дровяную печь (рис. 1). Чертёж передней панели печи показан на рис. 2. Размеры указаны в сантиметрах. Печь снабжена кожухом вокруг дверцы топки. Верхняя часть кожуха выполнена в виде арки, приваренной к передней стенке печки по дуге окружности с центром в середине нижней части кожуха (рис. 2). Для установки печки хозяину понадобилось узнать радиус закругления арки R. Размеры кожуха в сантиметрах показаны на рисунке. Найдите радиус закругления арки в сантиметрах.

Рассмотрим рисунок 2. У нас есть прямоугольник со сторонами 72 см и 42 см. Также у нас есть радиус R, который является радиусом окружности, образующей верхнюю часть кожуха.

Мы можем заметить, что радиус R является гипотенузой прямоугольного треугольника, где один катет равен половине ширины прямоугольника (72 см / 2 = 36 см), а другой катет равен разнице между радиусом R и высотой прямоугольника (R - 42 см).

Применим теорему Пифагора: $$R^2 = (R - 42)^2 + 36^2$$

Раскроем скобки: $$R^2 = R^2 - 84R + 42^2 + 36^2$$

$$R^2 = R^2 - 84R + 1764 + 1296$$

$$R^2 = R^2 - 84R + 3060$$

Упростим уравнение: $$84R = 3060$$

$$R = \frac{3060}{84} = \frac{1530}{42} = \frac{765}{21} = \frac{255}{7}$$

Ответ: $$R = \frac{255}{7}$$ см