Хозяин выбрал дровяную печь (рис. 1). Чертёж передней панели печи показан на рис. 2. Размеры указаны в сантиметрах. Печь снабжена кожухом вокруг дверцы топки. Верхняя часть кожуха выполнена в виде арки, приваренной к передней стенке печки по дуге окружности с центром в середине нижней части кожуха (рис. 2). Для установки печки хозяину понадобилось узнать радиус закругления арки R. Размеры кожуха в сантиметрах показаны на рисунке. Найдите радиус закругления арки в сантиметрах.

Решение:

На чертеже (рис. 2) показана передняя панель печи. Верхняя часть кожуха выполнена в виде арки. Нам даны размеры этой арки.

1. Ширина арки (и всего кожуха) равна 50 см.
2. Высота верхней части кожуха равна 60 см.
3. Центр окружности, по которой выполнена арка, находится в середине нижней части кожуха.
4. Радиус дуги окружности обозначен как R.

Для нахождения радиуса R, мы можем использовать теорему Пифагора. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный:

• Катет 1: половина ширины арки. Так как ширина равна 50 см, половина ширины будет \( \frac{50}{2} = 25 \) см.
• Катет 2: расстояние от центра окружности до нижней точки арки (это половина ширины арки) минус высота верхней части кожуха. Однако, на чертеже центр окружности показан на уровне нижней границы арки. Высота от центра до верхней точки арки и есть радиус R.
• Гипотенуза: радиус окружности R.

На чертеже видно, что высота арки (от уровня низа арки до самой верхней точки) составляет 60 см. Радиус R является гипотенузой прямоугольного треугольника, один катет которого равен половине ширины (25 см), а другой катет равен высоте арки (60 см). Это не совсем так. Радиус R проводится от центра окружности. На чертеже показано, что центр окружности находится на уровне нижней границы арки. Высота от центра до верхней точки арки равна 60 см. Половина ширины арки равна 25 см. Эти две величины образуют прямоугольный треугольник, где R является гипотенузой.

Применим теорему Пифагора: \( R^2 = \left(\frac{50}{2}\right)^2 + 60^2 \). Это неверно, так как 60 см - это высота. Центр находится на уровне низа арки. Радиус R проведен к верхней точке дуги. Тогда прямоугольный треугольник будет иметь катеты 25 см (половина ширины) и 60 см (высота). Но это не даст нам радиус. На чертеже показано, что от центра проведены два радиуса, один к нижней точке дуги (который параллелен нижней стороне прямоугольника, и его длина равна половине ширины - 25 см), и другой - к верхней точке дуги, который и является гипотенузой, равной R. Высота от уровня центра до верхней точки дуги равна 60 см. Значит, катеты прямоугольного треугольника равны 25 см (половина ширины) и 60 см (высота). Тогда R будет гипотенузой.

R² = 25² + 60²

R² = 625 + 3600

R² = 4225

R = \(\sqrt{4225}\)

R = 65 см.

Проверим: 65² = 4225. 25² + 60² = 625 + 3600 = 4225. Верно.

Ответ: 65 см.