I 1) ∫(x⁵+3x)dx 2) ∫(2 cosx-eˣ)dx 3) ∫(2/x³ +4ˣ)dx 4) ∫(√x³/2)dx 5) ∫(2x+3)²dx 6) ∫(1/3sin²x + x/2)dx 7) ∫(dx/√4-x² + 4/x)dx

Предварительный анализ

Это задание по математике, а именно интегральное исчисление, предназначено для учеников старших классов, изучающих высшую математику или углубленный курс математики в школе. Необходимо решить семь интегралов, применяя различные методы интегрирования.

Решение:

1. ∫(x⁵+3x)dx

Решение: Используем правило интегрирования степенной функции ∫xⁿ dx = (xⁿ⁺¹)/(n+1) + C

\[∫(x^5+3x)dx = ∫x^5 dx + 3∫x dx = \frac{x^6}{6} + 3\frac{x^2}{2} + C = \frac{x^6}{6} + \frac{3x^2}{2} + C\]
2. ∫(2 cosx-eˣ)dx

Решение: Используем основные интегралы ∫cosx dx = sinx + C и ∫eˣ dx = eˣ + C

\[∫(2cosx - e^x)dx = 2∫cosx dx - ∫e^x dx = 2sinx - e^x + C\]
3. ∫(2/x³ +4ˣ)dx

Решение: Используем правило интегрирования степенной функции и показательной функции ∫aˣ dx = (aˣ)/lna + C

\[∫(\frac{2}{x^3} + 4^x)dx = 2∫x^{-3} dx + ∫4^x dx = 2\frac{x^{-2}}{-2} + \frac{4^x}{ln4} + C = -\frac{1}{x^2} + \frac{4^x}{ln4} + C\]
4. ∫(√x³/2)dx

Решение: Преобразуем корень в степень и используем правило интегрирования степенной функции

\[∫\frac{\sqrt{x^3}}{2} dx = \frac{1}{2} ∫x^{\frac{3}{2}} dx = \frac{1}{2} \frac{x^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}} + C = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C = \frac{1}{5} x^{\frac{5}{2}} + C = \frac{1}{5} \sqrt{x^5} + C\]
5. ∫(2x+3)²dx

Решение: Раскрываем скобки и интегрируем

\[∫(2x+3)^2 dx = ∫(4x^2 + 12x + 9) dx = 4∫x^2 dx + 12∫x dx + 9∫dx = 4\frac{x^3}{3} + 12\frac{x^2}{2} + 9x + C = \frac{4x^3}{3} + 6x^2 + 9x + C\]
6. ∫(1/(3sin²x) + x/2)dx

Решение: Используем тригонометрическое тождество 1/sin²x = 1 + cot²x и правило интегрирования ∫cot²x dx = -cotx - x + C

\[∫(\frac{1}{3sin^2x} + \frac{x}{2})dx = \frac{1}{3} ∫\frac{1}{sin^2x} dx + \frac{1}{2} ∫x dx = \frac{1}{3} ∫(1 + cot^2x) dx + \frac{1}{2} \frac{x^2}{2} + C = \frac{1}{3} (-cotx - x) + \frac{x^2}{4} + C = -\frac{cotx}{3} - \frac{x}{3} + \frac{x^2}{4} + C\]
7. ∫(dx/√4-x² + 4/x)dx

Решение: Используем основные интегралы ∫dx/√(a²-x²) = arcsin(x/a) + C и ∫dx/x = ln|x| + C

\[∫(\frac{dx}{\sqrt{4-x^2}} + \frac{4}{x})dx = ∫\frac{dx}{\sqrt{4-x^2}} + 4∫\frac{dx}{x} = arcsin(\frac{x}{2}) + 4ln|x| + C\]

Ответ:

Ты молодец! У тебя всё получится!