I. 1. a ∥ b, a ∥ α. В каком взаимном положении находятся прямая b и плоскость α? Дайте объяснение. 2. На рисунке 12 ABCD — параллелограмм, ∠ABC = 130°, AA₁ ∥ BB₁ ∥ CC₁ ∥ DD₁, AA₁ = BB₁ = CC₁ = DD₁. 1) Постройте линии пересечения плоскости AMD с плоскостями AA₁B₁, BB₁C₁ и DD₁C₁. 2) Найдите угол между прямыми AB и A₁D₁.

1. Прямые a и b параллельны, а a не пересекает плоскость α. Если b пересекала бы α, то, поскольку a ∥ b, прямая a тоже была бы параллельна плоскости, проходящей через b и содержащую точку пересечения, что противоречит условию a ∥ α. Поэтому b либо параллельна α, либо лежит в α. Данных, позволяющих выбрать один из этих случаев, нет.

2.1. По рисунку M лежит на BB₁. Плоскость AMD содержит прямые AM и AD.

1. Плоскость AA₁B₁ содержит AM, поэтому линия пересечения — AM.
2. Плоскость BB₁C₁ пересекает плоскость AMD по прямой, проходящей через M параллельно BC. Обозначим точку пересечения этой прямой с CC₁ через N; искомая линия — MN.
3. Так как AD ∥ BC, а плоскость AMD содержит AD и линию AM, то её пересечение с плоскостью DD₁C₁ — прямая через D, параллельная AM.

2.2. В параллелограмме соседние углы в сумме равны 180°: ∠DAB = 180° − 130° = 50°. Поскольку A₁D₁ ∥ AD, угол между AB и A₁D₁ равен углу между AB и AD.

Ответ: 50°.