I. Даны точки А(3; −5; 6), В(-3; 1; −4), C(-4; 0; 3), D(0; -3; -5). Найти:

Дано:

Точки: \( A(3; -5; 6) \), \( B(-3; 1; -4) \), \( C(-4; 0; 3) \), \( D(0; -3; -5) \).

Найти:

1. Координаты вектора \( \vec{BC} \)
2. Расстояние между точками C и D
3. Координаты середины K отрезка AC
4. Скалярное произведение \( \vec{AC} \cdot \vec{DB} \)
5. Угол между векторами \( \vec{AC} \) и \( \vec{DB} \)
6. Угол между прямыми DC и AB
7. Скалярное произведение \( (\vec{CB} + \vec{AD}) \cdot \vec{BA} \)
8. Коллинеарны ли векторы \( \vec{AC} \) и \( \vec{DB} \)? (ответ обосновать)

Решение:

1. Координаты вектора \( \vec{BC} \):
   \( \vec{BC} = (x_C - x_B; y_C - y_B; z_C - z_B) = (-4 - (-3); 0 - 1; 3 - (-4)) = (-1; -1; 7) \)
2. Расстояние между точками C и D:
   \( |\vec{CD}| = \sqrt{(x_D - x_C)^2 + (y_D - y_C)^2 + (z_D - z_C)^2} \)
   \( |\vec{CD}| = \sqrt{(0 - (-4))^2 + (-3 - 0)^2 + (-5 - 3)^2} = \sqrt{4^2 + (-3)^2 + (-8)^2} = \sqrt{16 + 9 + 64} = \sqrt{89} \)
3. Координаты середины K отрезка AC:
   \( K = \left( \frac{x_A + x_C}{2}; \frac{y_A + y_C}{2}; \frac{z_A + z_C}{2} \right) \)
   \( K = \left( \frac{3 + (-4)}{2}; \frac{-5 + 0}{2}; \frac{6 + 3}{2} \right) = \left( -\frac{1}{2}; -\frac{5}{2}; \frac{9}{2} \right) \)
4. Скалярное произведение \( \vec{AC} \cdot \vec{DB} \):
   \( \vec{AC} = (x_C - x_A; y_C - y_A; z_C - z_A) = (-4 - 3; 0 - (-5); 3 - 6) = (-7; 5; -3) \)
   \( \vec{DB} = (x_B - x_D; y_B - y_D; z_B - z_D) = (-3 - 0; 1 - (-3); -4 - (-5)) = (-3; 4; 1) \)
   \( \vec{AC} \cdot \vec{DB} = (-7) \cdot (-3) + 5 \cdot 4 + (-3) \cdot 1 = 21 + 20 - 3 = 38 \)
5. Угол между векторами \( \vec{AC} \) и \( \vec{DB} \):
   \( \cos(\alpha) = \frac{\vec{AC} \cdot \vec{DB}}{|\vec{AC}| \cdot |\vec{DB}|} \)
   \( |\vec{AC}| = \sqrt{(-7)^2 + 5^2 + (-3)^2} = \sqrt{49 + 25 + 9} = \sqrt{83} \)
   \( |\vec{DB}| = \sqrt{(-3)^2 + 4^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 16 + 1} = \sqrt{26} \)
   \( \cos(\alpha) = \frac{38}{\sqrt{83} \cdot \sqrt{26}} = \frac{38}{\sqrt{2158}} \)
   \( \alpha = \arccos{\left( \frac{38}{\sqrt{2158}} \right)} \)
6. Угол между прямыми DC и AB:
   Найдём векторы \( \vec{DC} \) и \( \vec{AB} \).
   \( \vec{DC} = (x_C - x_D; y_C - y_D; z_C - z_D) = (-4 - 0; 0 - (-3); 3 - (-5)) = (-4; 3; 8) \)
   \( \vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A) = (-3 - 3; 1 - (-5); -4 - 6) = (-6; 6; -10) \)
   Косинус угла между прямыми равен модулю косинуса угла между их направляющими векторами.
   \( \vec{DC} \cdot \vec{AB} = (-4) \cdot (-6) + 3 \cdot 6 + 8 \cdot (-10) = 24 + 18 - 80 = -38 \)
   \( |\vec{DC}| = \sqrt{(-4)^2 + 3^2 + 8^2} = \sqrt{16 + 9 + 64} = \sqrt{89} \)
   \( |\vec{AB}| = \sqrt{(-6)^2 + 6^2 + (-10)^2} = \sqrt{36 + 36 + 100} = \sqrt{172} \)
   \( \cos(\beta) = \frac{|\vec{DC} \cdot \vec{AB}|}{|\vec{DC}| \cdot |\vec{AB}|} = \frac{|-38|}{\sqrt{89} \cdot \sqrt{172}} = \frac{38}{\sqrt{15308}} \)
   \( \beta = \arccos{\left( \frac{38}{\sqrt{15308}} \right)} \)
7. Скалярное произведение \( (\vec{CB} + \vec{AD}) \cdot \vec{BA} \):
   \( \vec{CB} = (x_B - x_C; y_B - y_C; z_B - z_C) = (-3 - (-4); 1 - 0; -4 - 3) = (1; 1; -7) \)
   \( \vec{AD} = (x_D - x_A; y_D - y_A; z_D - z_A) = (0 - 3; -3 - (-5); -5 - 6) = (-3; 2; -11) \)
   \( \vec{CB} + \vec{AD} = (1 + (-3); 1 + 2; -7 + (-11)) = (-2; 3; -18) \)
   \( \vec{BA} = (x_A - x_B; y_A - y_B; z_A - z_B) = (3 - (-3); -5 - 1; 6 - (-4)) = (6; -6; 10) \)
   \( (\vec{CB} + \vec{AD}) \cdot \vec{BA} = (-2) \cdot 6 + 3 \cdot (-6) + (-18) \cdot 10 = -12 - 18 - 180 = -210 \)
8. Коллинеарны ли векторы \( \vec{AC} \) и \( \vec{DB} \)?
   Для коллинеарности векторы должны быть пропорциональны. Проверим отношение координат:
   \( \vec{AC} = (-7; 5; -3) \)
   \( \vec{DB} = (-3; 4; 1) \)
   \( \frac{-7}{-3} = \frac{7}{3} \)
   \( \frac{5}{4} \)
   \( \frac{-3}{1} = -3 \)
   Так как отношения координат не равны, векторы \( \vec{AC} \) и \( \vec{DB} \) не коллинеарны.