I, II, III признаки подобия треугольников №1 Дано: FG || AC. 1) Доказать: △ABC~ △ FBG. 2) Найти: РАВС №2 Дано: △ ABC, △ MDK. 1) Найти: CB, KM. 2) Доказать: ∆ ABC~ MDK. №3 Дано: △ FGD, △ CAB 1) Доказать: △ FGD~ △ CAB. 2) Найти: FD.

Решение №1:

Дано: FG || AC.

Доказать: \( \triangle ABC \sim \triangle FBG \).

Доказательство:

1. \( \angle BAC = \angle BFG \) как накрест лежащие при параллельных прямых AC и FG и секущей AB.
2. \( \angle BCA = \angle BGF \) как накрест лежащие при параллельных прямых AC и FG и секущей BC.
3. \( \angle ABC \) — общий для обоих треугольников.
4. Следовательно, \( \triangle ABC \sim \triangle FBG \) по трём углам (первый признак подобия треугольников).

Найти: \( P_{ABC} \).

По условию, \( \triangle ABC \sim \triangle FBG \). Значит, соотношение сторон равно:

\( \frac{AB}{FB} = \frac{BC}{BG} = \frac{AC}{FG} \)

По рисунку:

\( AB = 10 \), \( FB = 4 \)

\( BC = ? \), \( BG = 6 \)

\( AC = ? \), \( FG = 15 \)

Из подобия \( \frac{AB}{FB} = \frac{AC}{FG} \) получаем \( \frac{10}{4} = \frac{AC}{15} \). Отсюда \( AC = \frac{10 \cdot 15}{4} = \frac{150}{4} = 37.5 \).

Из подобия \( \frac{AB}{FB} = \frac{BC}{BG} \) получаем \( \frac{10}{4} = \frac{BC}{6} \). Отсюда \( BC = \frac{10 \cdot 6}{4} = \frac{60}{4} = 15 \).

Периметр \( \triangle ABC = AB + BC + AC = 10 + 15 + 37.5 = 62.5 \).

Ответ №1: \( P_{ABC} = 62.5 \).

Решение №2:

Дано: \( \triangle ABC \), \( \triangle MDK \).

Найти: CB, KM.

Доказать: \( \triangle ABC \sim \triangle MDK \).

Решение:

По условию, \( \triangle ABC \sim \triangle MDK \). Это означает, что:

\( \frac{AB}{MD} = \frac{BC}{DK} = \frac{AC}{MK} \)

По рисунку:

\( AB = 12 \), \( MD = 15 \)

\( BC = ? \), \( DK = 8 \)

\( AC = ? \), \( MK = 6 \)

Из подобия \( \frac{AB}{MD} = \frac{BC}{DK} \) получаем \( \frac{12}{15} = \frac{CB}{8} \). Отсюда \( CB = \frac{12 \cdot 8}{15} = \frac{96}{15} = 6.4 \).

Из подобия \( \frac{AB}{MD} = \frac{AC}{MK} \) получаем \( \frac{12}{15} = \frac{AC}{6} \). Отсюда \( AC = \frac{12 \cdot 6}{15} = \frac{72}{15} = 4.8 \).

Ответ №2: \( CB = 6.4 \), \( KM = 6 \). (Второе значение KM взято напрямую из условия подобия, так как MK=6)

Решение №3:

Дано: \( \triangle FGD \), \( \triangle CAB \).

Доказать: \( \triangle FGD \sim \triangle CAB \).

Доказательство:

По рисунку:

\( FG = 30 \), \( CA = 10 \)

\( GD = 18 \), \( AB = 6 \)

\( FD = ? \), \( CB = 15 \)

Найдем отношение сторон:

\( \frac{FG}{CA} = \frac{30}{10} = 3 \)

\( \frac{GD}{AB} = \frac{18}{6} = 3 \)

\( \frac{CB}{FD} = \frac{15}{?} \)

Так как \( \frac{FG}{CA} = \frac{GD}{AB} = 3 \) и \( \boldsymbol{\angle G = \angle A} \) (по условию подобия \( \triangle FGD \sim \triangle CAB \)), то по двум сторонам и углу между ними (второй признак подобия треугольников) \( \triangle FGD \sim \triangle CAB \). Доказано.

Найти: FD.

Из подобия \( \frac{FG}{CA} = \frac{GD}{AB} = \frac{FD}{CB} \) получаем:

\( 3 = \frac{FD}{15} \)

Отсюда \( FD = 3 \times 15 = 45 \).

Ответ №3: \( FD = 45 \).