и LARK = 56°. Найдите величину угла RXK. Ответ дайте в градусах. Найдите площадь параллелограмма, изображённого на рисунке. На клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см изображена трапеция. Найдите длину её средней линии.

Задание 1.

Дано: ∠ARK = 56°. Найти величину угла RXK.

Решение:

Рассмотрим треугольник ARK. AR и RK - радиусы окружности, следовательно, треугольник ARK равнобедренный с основанием AK.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, значит, ∠RAK = ∠RKA.

Сумма углов треугольника равна 180°, поэтому:

∠ARK + ∠RAK + ∠RKA = 180°

56° + ∠RAK + ∠RAK = 180°

2 * ∠RAK = 180° - 56°

2 * ∠RAK = 124°

∠RAK = 62°

∠RKA = 62°

Рассмотрим треугольник AXK. В этом треугольнике AX = XK = радиусу, значит, треугольник AXK равнобедренный с основанием AK.

Следовательно, углы при основании AK равны: ∠XAK = ∠XKA.

∠RAK = ∠XAK + ∠RAX,

∠RKA = ∠XKA + ∠RKX.

Поскольку ∠RAK = ∠RKA, то ∠XAK + ∠RAX = ∠XKA + ∠RKX.

Треугольник AXK равнобедренный, ∠XAK = ∠XKA, следовательно, ∠RAX = ∠RKX.

В треугольнике ARK ∠RAX = ∠RKX, и они равны (180° - ∠RXA) / 2

Сумма углов четырехугольника равна 360°.

В четырехугольнике ARXK:

∠ARK + ∠RXK + ∠XKA + ∠RAK = 360°

56° + ∠RXK + ∠XKA + ∠RAK = 360°

∠RXK = 360° - 56° - ∠XKA - ∠RAK

∠RXK = 304° - ∠XKA - ∠RAK

∠XKA = ∠XAK, ∠RAK = 62°

∠RXK = 304° - ∠XAK - 62°

∠RXK = 242° - ∠XAK

Мы знаем, что ∠RAX = ∠RKX = (180° - ∠RXA) / 2

Сумма углов четырехугольника ARXK равна 360°: ∠ARK + ∠RXK + ∠XAR + ∠XKR = 360°.

Отсюда ∠RXK = 360° - ∠ARK - ∠XAR - ∠XKR.

∠XAR = ∠XKR = (180° - ∠RXA) / 2, ∠ARK = 56°.

Получаем ∠RXK = 360° - 56° - (180° - ∠RXA) / 2 - (180° - ∠RXA) / 2.

∠RXK = 304° - (180° - ∠RXA).

∠RXK = 304° - 180° + ∠RXA.

∠RXK = 124° + ∠RXA.

∠AXK = 180° - 2*∠XAK, и ∠RXA = 180° - ∠AXK.

Тогда ∠RXA = 180° - (180° - 2*∠XAK) = 2*∠XAK.

Так как ∠RAK = 62°, то ∠XAK = ∠RAK - ∠RAX = 62° - ∠RAX.

∠RXA = 2 * (62° - ∠RAX) = 124° - 2*∠RAX.

И ∠RXK = 124° + 124° - 2*∠RAX = 248° - 2*∠RAX.

Т.к. ∠ARK = 56°, то ∠ARX + ∠XRK = 56°.

Т.к. ∠RAX = ∠RKX, то ∠ARX = ∠XRK = 56°/2 = 28°.

∠RXK = 124° + ∠RXA = 124° + 180° - ∠AXK

Так как ∠XAK = ∠XKA, то ∠AXK = 180 - 2*∠XAK

∠RAK = ∠XAK + ∠RAX

∠RAK = 62

∠RAX = 28

∠XAK = 62 - 28 = 34

∠AXK = 180 - 2 * 34 = 112

∠RXA = 180 - 112 = 68

∠RXK = 124 + 68 = 192°.

Ответ: 192°.

Задание 2.

Дано: Параллелограмм с высотой 24 и сторонами 7 и 14.

Найти: Площадь параллелограмма.

Решение:

Площадь параллелограмма можно найти как произведение высоты на сторону, к которой она проведена. В данном случае высота равна 24, а сторона, к которой она проведена, равна 14.

Площадь параллелограмма = высота * сторона = 24 * 14 = 336.

Ответ: 336.

Задание 3.

Найти длину средней линии трапеции на клетчатой бумаге.

Решение:

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований. На рисунке видно, что верхнее основание трапеции равно 3 клеткам, а нижнее основание равно 7 клеткам.

Длина средней линии = (верхнее основание + нижнее основание) / 2 = (3 + 7) / 2 = 10 / 2 = 5.

Ответ: 5.