I 1. log₁/₂(7-8x)=-2 1. 2. log₂(x-2)+log₂(x-3) = 1 2. 3 ly(x²-2x) = 1930-1 3.1 X+ 4. log₃x+log₉ x + lon = 11/12 4. l 5 x-3+ 12 13x-7=2

Решим представленные логарифмические уравнения:

1. $$log_{\frac{1}{2}}(7-8x) = -2$$
   $$(\frac{1}{2})^{-2} = 7-8x$$
   $$4 = 7-8x$$
   $$8x = 7-4$$
   $$8x = 3$$
   $$x = \frac{3}{8}$$
   Проверка: $$7-8*\frac{3}{8} = 7-3 = 4 > 0$$, значит, решение имеет смысл.
   Ответ: $$x = \frac{3}{8}$$
2. $$log_2(x-2) + log_2(x-3) = 1$$
   $$log_2((x-2)(x-3)) = 1$$
   $$(x-2)(x-3) = 2^1$$
   $$x^2 - 3x - 2x + 6 = 2$$
   $$x^2 - 5x + 4 = 0$$
   По теореме Виета:
   $$x_1 + x_2 = 5$$
   $$x_1 * x_2 = 4$$
   $$x_1 = 1, x_2 = 4$$
   Проверка:
   $$x_1 = 1: log_2(1-2) + log_2(1-3)$$- не имеет смысла, т.к. под знаком логарифма отрицательные числа.
   $$x_2 = 4: log_2(4-2) + log_2(4-3) = log_2(2) + log_2(1) = 1 + 0 = 1$$, значит, решение имеет смысл.
   Ответ: $$x = 4$$
3. В третьем уравнении описка. Вероятно, имеется в виду уравнение $$lg(x^2-2x) = lg30 - 1$$. Тогда:
   $$lg(x^2-2x) = lg30 - lg10$$
   $$lg(x^2-2x) = lg\frac{30}{10}$$
   $$lg(x^2-2x) = lg3$$
   $$x^2 - 2x = 3$$
   $$x^2 - 2x - 3 = 0$$
   По теореме Виета:
   $$x_1 + x_2 = 2$$
   $$x_1 * x_2 = -3$$
   $$x_1 = -1, x_2 = 3$$
   Проверка:
   $$x_1 = -1: (-1)^2 - 2*(-1) = 1 + 2 = 3 > 0$$, значит, решение имеет смысл.
   $$x_2 = 3: 3^2 - 2*3 = 9 - 6 = 3 > 0$$, значит, решение имеет смысл.
   Ответ: $$x_1 = -1, x_2 = 3$$
4. В четвёртом уравнении описка. Вероятно, имеется в виду уравнение $$log_3x+log_9 x + log_{27}x= \frac{11}{12}$$. Тогда:
   $$log_3x+log_{3^2} x + log_{3^3}x= \frac{11}{12}$$
   $$log_3x+\frac{1}{2}log_{3} x + \frac{1}{3}log_{3}x= \frac{11}{12}$$
   $$log_3x(1+\frac{1}{2} + \frac{1}{3}) = \frac{11}{12}$$
   $$log_3x(\frac{6+3+2}{6}) = \frac{11}{12}$$
   $$log_3x*\frac{11}{6} = \frac{11}{12}$$
   $$log_3x = \frac{11}{12} * \frac{6}{11}$$
   $$log_3x = \frac{1}{2}$$
   $$x = 3^{\frac{1}{2}}$$
   $$x = \sqrt{3}$$
   Проверка: $$x = \sqrt{3} > 0$$, значит, решение имеет смысл.
   Ответ: $$x = \sqrt{3}$$
5. В пятом уравнении описка. Вероятно, имеется в виду уравнение $$log_2\sqrt{x-3}+log_2\sqrt{3x-7} = 2$$. Тогда:
   $$log_2(\sqrt{x-3}*\sqrt{3x-7}) = 2$$
   $$(\sqrt{x-3}*\sqrt{3x-7}) = 2^2$$
   $$(\sqrt{x-3}*\sqrt{3x-7}) = 4$$
   $$(\sqrt{(x-3)(3x-7)}) = 4$$
   $$(x-3)(3x-7) = 16$$
   $$3x^2 -7x -9x +21 = 16$$
   $$3x^2 -16x +5 = 0$$
   $$D = (-16)^2 -4*3*5 = 256 -60 = 196$$
   $$\sqrt{D} = \sqrt{196} = 14$$
   $$x_1 = \frac{16+14}{2*3} = \frac{30}{6} = 5$$
   $$x_2 = \frac{16-14}{2*3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$
   Проверка:
   $$x_1 = 5: \sqrt{5-3} = \sqrt{2} > 0, \sqrt{3*5-7} = \sqrt{8} > 0$$, значит, решение имеет смысл.
   $$x_2 = \frac{1}{3}: \sqrt{\frac{1}{3}-3} < 0$$, значит, решение не имеет смысл.
   Ответ: $$x = 5$$