I-нұсқа. 1. Анықталмаған интегралды есептеңіз: а) ∫(4x³ − 5x) dx; б) ∫cos 2x dx; в) ∫₀²(3x − 2)⁵ dx; г) ∫₃¹¹ dx/√(2x + 3). 2. Төмендегі сызықтармен шектелген фигура ауданын табыңыз: а) y = x² + 2; y = 2x + 10; б) y = x² − 3; y = 0; x = −1; x = 1.

1.

1. Интегралды қосылғыштар бойынша есептейміз: \(\int(4x^3-5x)\,dx=x^4-\frac{5}{2}x^2+C\).
2. \(\int\cos 2x\,dx=\frac{1}{2}\sin 2x+C\), өйткені \((\sin 2x)'=2\cos 2x\).
3. Айнымалыны алмастырамыз: \(u=3x-2\), сонда алғашқы функциясы \(\frac{(3x-2)^6}{18}\). Сондықтан \(\int_0^2(3x-2)^5\,dx=\left.\frac{(3x-2)^6}{18}\right|_0^2=\frac{4^6-(-2)^6}{18}=224\).
4. \(\int\frac{dx}{\sqrt{2x+3}}=\sqrt{2x+3}\). Демек, \(\int_3^{11}\frac{dx}{\sqrt{2x+3}}=\sqrt{25}-\sqrt{9}=2\).

2.

1. Қиылысу нүктелерінің абсциссаларын табамыз: \(x^2+2=2x+10\), яғни \((x+2)(x-4)=0\). Шектер: \(-2\) және \(4\). Осы аралықта түзу параболадан жоғары, сондықтан аудан: \(S=\int_{-2}^{4}[(2x+10)-(x^2+2)]\,dx=\left[-\frac{x^3}{3}+x^2+8x\right]_{-2}^{4}=36\).
2. Берілген аралықта парабола \(y=x^2-3\) осьтің төменгі жағында жатыр. Сондықтан \(S=\int_{-1}^{1}[0-(x^2-3)]\,dx=\int_{-1}^{1}(3-x^2)\,dx=\left[3x-\frac{x^3}{3}\right]_{-1}^{1}=\frac{16}{3}\).

Жауабы: 1а) \(x^4-\frac{5}{2}x^2+C\); 1б) \(\frac{1}{2}\sin 2x+C\); 1в) 224; 1г) 2; 2а) 36; 2б) \(\frac{16}{3}\).