I need to find the values of the angles in the image. The image shows a triangle with some angles and markings.

Решение:

На чертеже изображены два треугольника, у которых равны углы при основании и равны отрезки, прилежащие к основаниям.

Дан треугольник PQR. Отрезок PK делит угол P на два угла, равные \( \angle 1 \) и \( \angle 2 \). Отрезок PN делит угол P на два угла, равные \( \angle 3 \) и \( \angle 4 \).

Из чертежа видно, что \( \angle 1 = 69^{\circ} \) и \( \angle 2 = 68^{\circ} \).

Угол P равен сумме углов \( \angle 1 \) и \( \angle 2 \):

\[ \angle P = \angle 1 + \angle 2 = 69^{\circ} + 68^{\circ} = 137^{\circ} \]

Данные отметки на сторонах PQ и PK, а также на сторонах PT и PN указывают на равенство отрезков:

\( PQ = PK \)

\( PT = PN \)

Из этого следует, что треугольники PTN и PKQ равнобедренные. Углы при основании равны:

\[ \angle PTN = \angle PNT \]

\[ \angle PKQ = \angle PQK \]

Из чертежа видно, что \( \angle 1 \) является углом при вершине в равнобедренном треугольнике, где боковые стороны равны PQ и PT, а основание — QT. Это неверно, так как отметки на сторонах указывают на равенство отрезков PQ=PK и PT=PN.

Рассмотрим треугольник PKT. Угол \( \angle KPT \) равен \( 69^{\circ} \). Отметки на сторонах PK и PT указывают на равенство этих сторон, значит, треугольник PKT равнобедренный.

Углы при основании равны:

\[ \angle PKT = \angle PTK \]

Сумма углов в треугольнике PKT равна \( 180^{\circ} \):

\[ \angle PKT + \angle PTK + \angle KPT = 180^{\circ} \]

\[ 2 \cdot \angle PKT + 69^{\circ} = 180^{\circ} \]

\[ 2 \cdot \angle PKT = 180^{\circ} - 69^{\circ} \]

\[ 2 \cdot \angle PKT = 111^{\circ} \]

\[ \angle PKT = \frac{111^{\circ}}{2} = 55.5^{\circ} \]

Аналогично рассмотрим треугольник PNQ. Угол \( \angle NPQ \) равен \( 68^{\circ} \). Отметки на сторонах PN и PQ указывают на равенство этих сторон, значит, треугольник PNQ равнобедренный.

Углы при основании равны:

\[ \angle PNP = \angle PQN \]

Сумма углов в треугольнике PNQ равна \( 180^{\circ} \):

\[ \angle PNP + \angle PQN + \angle NPQ = 180^{\circ} \]

\[ 2 \cdot \angle PQN + 68^{\circ} = 180^{\circ} \]

\[ 2 \cdot \angle PQN = 180^{\circ} - 68^{\circ} \]

\[ 2 \cdot \angle PQN = 112^{\circ} \]

\[ \angle PQN = \frac{112^{\circ}}{2} = 56^{\circ} \]

На чертеже также указано, что \( \angle 4 = 34^{\circ} \).

Ответ: \( \angle 1 = 69^{\circ} \), \( \angle 2 = 68^{\circ} \), \( \angle 4 = 34^{\circ} \).