и определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно одну общую точку.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Упрощение функции:

   Разложим квадратный трехчлен $$x^2+7x+10$$ на множители. Найдем корни уравнения $$x^2+7x+10=0$$. Дискриминант $$D = 7^2 - 4 × 1 × 10 = 49 - 40 = 9$$. Корни: $$x_1 = \frac{-7 + √9}{2} = \frac{-7+3}{2} = -2$$, $$x_2 = \frac{-7 - √9}{2} = \frac{-7-3}{2} = -5$$.

   Таким образом, $$x^2+7x+10 = (x+2)(x+5)$$.

   Теперь подставим это в исходное выражение для функции:

   $$y = \frac{(x+1)(x+2)(x+5)}{x+2}$$

   При $$x ≠ -2$$, функция упрощается до:

   $$y = (x+1)(x+5) = x^2 + 5x + x + 5 = x^2 + 6x + 5$$

   Итак, график функции — это парабола $$y = x^2 + 6x + 5$$, но с выколотой точкой при $$x = -2$$.

2. Нахождение координат выколотой точки:

   Подставим $$x = -2$$ в упрощенное уравнение $$y = x^2 + 6x + 5$$:

   $$y = (-2)^2 + 6(-2) + 5 = 4 - 12 + 5 = -3$$

   Выколотая точка имеет координаты $$(-2; -3)$$.

3. Анализ графика и прямой $$y=m$$:

   График функции $$y = x^2 + 6x + 5$$ — это парабола с ветвями вверх. Найдем вершину параболы. Координата $$x$$ вершины находится по формуле $$x_в = -b/(2a)$$.

   $$x_в = -6 / (2 × 1) = -3$$

   Координата $$y$$ вершины:

   $$y_в = (-3)^2 + 6(-3) + 5 = 9 - 18 + 5 = -4$$

   Вершина параболы находится в точке $$(-3; -4)$$.

   Прямая $$y=m$$ — это горизонтальная линия. Мы хотим найти такие значения $$m$$, при которых эта прямая имеет с графиком ровно одну общую точку.

   Рассмотрим возможные случаи:

   • Если $$m$$ равно значению $$y$$ в вершине параболы, то прямая $$y=m$$ будет касаться параболы в одной точке. Это значение $$y = -4$$.
   • Если прямая $$y=m$$ проходит через выколотую точку $$(-2; -3)$$, то она также будет пересекать график в одной точке (исключая саму выколотую точку). Это значение $$m = -3$$.
   • Если $$m$$ больше значения $$y$$ в вершине, но меньше значения $$y$$ выколотой точки (т.е. $$-4 < m < -3$$), прямая будет иметь две точки пересечения.
   • Если $$m$$ меньше значения $$y$$ в вершине ($$m < -4$$), прямая не будет иметь точек пересечения.
   • Если $$m$$ больше значения $$y$$ выколотой точки ($$m > -3$$), прямая будет иметь две точки пересечения.
4. Определение значений $$m$$:

   Для того чтобы прямая $$y=m$$ имела с графиком ровно одну общую точку, $$m$$ должно быть равно:

   • Координате $$y$$ вершины параболы: $$m = -4$$.
   • Координате $$y$$ выколотой точки: $$m = -3$$.

График функции:

Финальный ответ:

Ответ: При значениях $$m = -4$$ и $$m = -3$$ прямая $$y=m$$ имеет с графиком ровно одну общую точку.