I. Преобразовать в произведение 1. sin 10° + sin 12°. 2. sin 160° - sin 40°. 3. cos 6° + cos 18°. 4. cos 80° - cos 20°. 5. sin \(\frac{\pi}{10}\) - sin \(\frac{\pi}{8}\). 6. cos \(\frac{2\pi}{3}\) - cos \(\frac{\pi}{6}\). II. Упростить выражение 7. cos\(\frac{\pi}{3} - \alpha\) + cos\(\frac{\pi}{3} + \alpha\). 8. sin\(\frac{\pi}{4} + \alpha\) - cos\(\frac{\pi}{4} - \alpha\).

I. Преобразование в произведение

Используем формулы суммы и разности тригонометрических функций:

• Сумма синусов: \( \sin A + \sin B = 2 \sin \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2} \)
• Разность синусов: \( \sin A - \sin B = 2 \cos \frac{A+B}{2} \sin \frac{A-B}{2} \)
• Сумма косинусов: \( \cos A + \cos B = 2 \cos \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2} \)
• Разность косинусов: \( \cos A - \cos B = -2 \sin \frac{A+B}{2} \sin \frac{A-B}{2} \)

1. \( \sin 10^{\circ} + \sin 12^{\circ} = 2 \sin \frac{10^{\circ}+12^{\circ}}{2} \cos \frac{10^{\circ}-12^{\circ}}{2} = 2 \sin 11^{\circ} \cos(-1^{\circ}) = 2 \sin 11^{\circ} \cos 1^{\circ} \)
2. \( \sin 160^{\circ} - \sin 40^{\circ} = 2 \cos \frac{160^{\circ}+40^{\circ}}{2} \sin \frac{160^{\circ}-40^{\circ}}{2} = 2 \cos 100^{\circ} \sin 60^{\circ} \)
3. \( \cos 6^{\circ} + \cos 18^{\circ} = 2 \cos \frac{6^{\circ}+18^{\circ}}{2} \cos \frac{6^{\circ}-18^{\circ}}{2} = 2 \cos 12^{\circ} \cos(-6^{\circ}) = 2 \cos 12^{\circ} \cos 6^{\circ} \)
4. \( \cos 80^{\circ} - \cos 20^{\circ} = -2 \sin \frac{80^{\circ}+20^{\circ}}{2} \sin \frac{80^{\circ}-20^{\circ}}{2} = -2 \sin 50^{\circ} \sin 30^{\circ} \)
5. \( \sin \frac{\pi}{10} - \sin \frac{\pi}{8} = 2 \cos \frac{\frac{\pi}{10}+\frac{\pi}{8}}{2} \sin \frac{\frac{\pi}{10}-\frac{\pi}{8}}{2} = 2 \cos \frac{9\pi}{40} \sin \frac{-\pi}{80} = -2 \cos \frac{9\pi}{40} \sin \frac{\pi}{80} \)
6. \( \cos \frac{2\pi}{3} - \cos \frac{\pi}{6} = -2 \sin \frac{\frac{2\pi}{3}+\frac{\pi}{6}}{2} \sin \frac{\frac{2\pi}{3}-\frac{\pi}{6}}{2} = -2 \sin \frac{5\pi}{12} \sin \frac{\pi}{4} \)

II. Упрощение выражения

Используем формулы косинуса и синуса суммы и разности аргументов:

• \( \cos(\alpha \pm \beta) = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta \)
• \( \sin(\alpha \pm \beta) = \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta \)

1. \( \cos(\frac{\pi}{3} - \alpha) + \cos(\frac{\pi}{3} + \alpha) = (\cos \frac{\pi}{3} \cos \alpha + \sin \frac{\pi}{3} \sin \alpha) + (\cos \frac{\pi}{3} \cos \alpha - \sin \frac{\pi}{3} \sin \alpha) = 2 \cos \frac{\pi}{3} \cos \alpha = 2 \cdot \frac{1}{2} \cos \alpha = \cos \alpha \)
2. \( \sin(\frac{\pi}{4} + \alpha) - \cos(\frac{\pi}{4} - \alpha) = (\sin \frac{\pi}{4} \cos \alpha + \cos \frac{\pi}{4} \sin \alpha) - (\cos \frac{\pi}{4} \cos \alpha + \sin \frac{\pi}{4} \sin \alpha) \)


3. \( = (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos \alpha + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin \alpha) - (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos \alpha + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin \alpha) = 0 \)

Ответ: 1. \( 2 \sin 11^{\circ} \cos 1^{\circ} \); 2. \( 2 \cos 100^{\circ} \sin 60^{\circ} \); 3. \( 2 \cos 12^{\circ} \cos 6^{\circ} \); 4. \( -2 \sin 50^{\circ} \sin 30^{\circ} \); 5. \( -2 \cos \frac{9\pi}{40} \sin \frac{\pi}{80} \); 6. \( -2 \sin \frac{5\pi}{12} \sin \frac{\pi}{4} \); 7. \( \cos \alpha \); 8. \( 0 \).