I. Решите неравенства: 1) $\sqrt{2x+4}\le 2$; 2) $\sqrt{x^2-3x+2}>-4$; 3) $\sqrt{x^2-3x-4}>x-2$; 4) $\sqrt{2x^2-3x-5}<x-1$; 5) $\frac{\sqrt{6+x-x^2}}{2x+5}\ge\frac{\sqrt{6+x-x^2}}{x+4}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: I. Решите неравенства: 1) $\sqrt{2x+4}\le 2$; 2) $\sqrt{x^2-3x+2}>-4$; 3) $\sqrt{x^2-3x-4}>x-2$; 4) \(\sqrt{2x^2-3x-5}$ Фото задания

I. Решите неравенства: 1) $\sqrt{2x+4}\le 2$; 2) $\sqrt{x^2-3x+2}>-4$; 3) $\sqrt{x^2-3x-4}>x-2$; 4) $\sqrt{2x^2-3x-5}<x-1$; 5) $\frac{\sqrt{6+x-x^2}}{2x+5}\ge\frac{\sqrt{6+x-x^2}}{x+4}$.

Accepted Answer

Область определения: $2x+4\ge0$, значит, $x\ge-2$. Обе части неотрицательны, поэтому возводим в квадрат: $2x+4\le4$, откуда $x\le0$.
Ответ: $[-2;0]$.
Корень определён при $(x-1)(x-2)\ge0$, то есть при $x\le1$ или $x\ge2$. Так как квадратный корень неотрицателен, он всегда больше $-4$.
Ответ: $(-;1]\cup[2;+)$.
Область определения: $(x+1)(x-4)\ge0$, то есть $x\le-1$ или $x\ge4$. При $x\le-1$ правая часть $x-2<0$, поэтому неравенство выполняется. При $x\ge4$ обе части неотрицательны; возводим в квадрат: $x^2-3x-4>(x-2)^2$, откуда $x>8$.
Ответ: $(-;-1]\cup(8;+)$.
Подкоренное выражение неотрицательно при $x\le-1$ или $x\ge\frac52$. Для строгого неравенства правая часть должна быть положительна, значит, остаётся $x\ge\frac52$. Возводим в квадрат: $2x^2-3x-5<(x-1)^2$, то есть $(x+2)(x-3)<0$. Пересечение условий даёт $\frac52\le x<3$.
Ответ: $[\frac52;3)$.
Область определения корня: $6+x-x^2\ge0$, то есть $-2\le x\le3$. На этом промежутке оба знаменателя положительны. Выносим общий неотрицательный множитель $\sqrt{6+x-x^2}$: при положительном подкоренном выражении получаем $\frac1{2x+5}-\frac1{x+4}\ge0$, или $\frac{-x-1}{(2x+5)(x+4)}\ge0$, откуда $x\le-1$. Концы области определения, где числитель равен нулю, также подходят.
Ответ: $[-2;-1]$.

I. Решите неравенства: 1) \(\sqrt{2x+4}\le 2\); 2) \(\sqrt{x^2-3x+2}>-4\); 3) \(\sqrt{x^2-3x-4}>x-2\); 4) \(\sqrt{2x^2-3x-5}<x-1\); 5) \(\frac{\sqrt{6+x-x^2}}{2x+5}\ge\frac{\sqrt{6+x-x^2}}{x+4}\).

Ответ: