I уровень. 1. На вершине тупого угла равнобедренной трапеции ABCD проведён перпендикуляр CE к прямой AD, содержащей большее основание. Докажите, что AE = (AD + BC)/2.

Пусть основания трапеции — AD и BC, причём AD > BC, а CE ⟂ AD.

Так как трапеция равнобедренная, проекции её боковых сторон на большее основание равны. Поэтому отрезок AE равен сумме половины большего основания и половины меньшего основания:

AE = (AD − BC)/2 + BC = (AD + BC)/2.

Здесь использовано, что проекция боковой стороны у тупого угла дополняет меньшее основание до большего. Следовательно, AE = (AD + BC)/2.