І уровень сложности (легкий) Вариант 1 (уровень 1) 1. Дано: СО = OD, ∠C = 90°, ∠D = 90° (рис. 2.120). Доказать: О – середина AB. 2. Дано: АВ = ВС, АК = КС, ∠AKE = <РКС (рис. 2.121). Доказать: ДАКЕ = ДСКР.

1. Решение:

Дано: CO = OD, ∠C = 90°, ∠D = 90°.

Доказать: O - середина AB.

Решение:

1. Рассмотрим треугольники ΔAOC и ΔBOD.

   CO = OD (по условию),

   ∠C = ∠D = 90° (по условию),

   ∠AOC = ∠BOD (как вертикальные).

   Следовательно, ΔAOC = ΔBOD (по стороне и двум прилежащим углам).

2. Из равенства треугольников следует, что AO = BO. Значит, точка O является серединой отрезка AB.

   Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что O - середина AB.

2. Решение:

Дано: AB = BC, AK = KC, ∠AKE = ∠PKC.

Доказать: ΔAKE = ΔCKP.

Решение:

1. Так как AK = KC, то K - середина AC.

2. ∠AKE = ∠PKC (дано).

3. Рассмотрим треугольники ΔAKE и ΔCKP:

   • AK = KC (по условию);
   • ∠AKE = ∠CKP (по условию);

   Необходимо найти еще один элемент, чтобы доказать равенство треугольников. Дополнительной информации в условии не предоставлено, и рисунок не дает дополнительных сведений.

4. Предположим, что условие подразумевает равенство углов ∠KAE = ∠KCP. Тогда:

   ΔAKE = ΔCKP (по стороне и двум прилежащим углам).

Ответ: ΔAKE = ΔCKP, если ∠KAE = ∠KCP.