І уровень D 1. ДАВС - правильный тетраэдр, АВ = 3. Найдите поли A C B M C D 2. MABCD правильная пирамида, h=7,AB=6. Найдите МА, III уровень A G B A 10 C B 5. АВСА, В,С, правильная усеченная пирамида, А,В = 6, AB = 12, h = √22. Найдите к S 6. SABC B C M A II уровень... D 3. ДАВС - правильная пирамида, АВ = 6, DB=5. IV уровень Найдите S B C A C B M 4. MABC правильная пирамида, S 273, P18. поли ABC Найдите ВМС. B C D A 0 C B A 10 C B правильная пирамида, ∠(SAC, BAC) = 45°, d (O, SAC) = √6. Найдите Ѕ 7. ABCDABCD — правильная усеченная пирамида, АВ = 6, A,B, 4, ∠C,CA = 45°. Найдите Ѕ. сеч 8. АВСА,В,С - правильная усеченная пирамида. АВ = 12, A,B,₁ = 6, ∠(BCC, ABC) = 30°. Найдите ок

1. ДАВС — правильный тетраэдр, АВ = 3. Найдите S_полн.

Краткое пояснение: Площадь полной поверхности правильного тетраэдра равна сумме площадей всех его граней. Каждая грань — равносторонний треугольник.

• Площадь равностороннего треугольника: \[S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\]
• Сторона \(a = 3\), тогда площадь одной грани: \[S = \frac{3^2\sqrt{3}}{4} = \frac{9\sqrt{3}}{4}\]
• Всего граней 4, поэтому: \[S_{полн} = 4 \cdot \frac{9\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}\]

Ответ: \[S_{полн} = 9\sqrt{3}\]

2. MABCD — правильная пирамида, h = √7, AB = 6. Найдите MA.

Краткое пояснение: В правильной пирамиде основание — квадрат, а высота падает в центр основания. Необходимо найти гипотенузу прямоугольного треугольника.

• Сторона квадрата \(AB = 6\), значит, диагональ основания \(AC = AB\sqrt{2} = 6\sqrt{2}\).
• Точка O — центр квадрата, следовательно, \(AO = \frac{AC}{2} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}\).
• Рассмотрим прямоугольный треугольник \(MAO\), где \(MO = h = \sqrt{7}\) и \(AO = 3\sqrt{2}\).
• По теореме Пифагора: \[MA = \sqrt{MO^2 + AO^2} = \sqrt{(\sqrt{7})^2 + (3\sqrt{2})^2} = \sqrt{7 + 18} = \sqrt{25} = 5\]

Ответ: \[MA = 5\]

3. ДАВС — правильная пирамида, АВ = 6, DB = 5. Найдите S_бок.

Краткое пояснение: Боковая поверхность пирамиды состоит из трех равных треугольников. Нужно найти площадь одного треугольника и умножить на 3.

• Так как \(AB = 6\) и \(DB = 5\), то треугольник \(ABD\) — равнобедренный.
• Высота \(h\) треугольника \(ABD\), проведённая к стороне \(AB\), является медианой и делит \(AB\) пополам: \(AK = KB = 3\).
• По теореме Пифагора из треугольника \(DBK\): \[DK = \sqrt{DB^2 - KB^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4\]
• Площадь треугольника \(ABD\): \[S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot DK = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 = 12\]
• Площадь боковой поверхности: \[S_{бок} = 3 \cdot S_{ABD} = 3 \cdot 12 = 36\]

Ответ: \[S_{бок} = 36\]

4. MABC — правильная пирамида, S_полн = 27√3, P_ABC = 18. Найдите ∠BMC.

Краткое пояснение: Сначала найдем сторону основания, затем апофему и высоту боковой грани, а затем используем теорему косинусов.

• Так как \(P_{ABC} = 18\) и треугольник \(ABC\) равносторонний, то сторона \(AB = \frac{P_{ABC}}{3} = \frac{18}{3} = 6\).
• Площадь основания: \[S_{осн} = \frac{AB^2\sqrt{3}}{4} = \frac{6^2\sqrt{3}}{4} = \frac{36\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}\]
• Площадь боковой поверхности: \[S_{бок} = S_{полн} - S_{осн} = 27\sqrt{3} - 9\sqrt{3} = 18\sqrt{3}\]
• Площадь одной боковой грани: \[S_{MBC} = \frac{S_{бок}}{3} = \frac{18\sqrt{3}}{3} = 6\sqrt{3}\]
• Высота основания (апофема): \[MK = \frac{2S_{MBC}}{BC} = \frac{2 \cdot 6\sqrt{3}}{6} = 2\sqrt{3}\]
• \(BK = \frac{BC}{2} = \frac{6}{2} = 3\).
• В треугольнике \(BMK\): \[BM = \sqrt{MK^2 + BK^2} = \sqrt{(2\sqrt{3})^2 + 3^2} = \sqrt{12 + 9} = \sqrt{21}\]
• По теореме косинусов в треугольнике \(BMC\): \[BC^2 = BM^2 + MC^2 - 2 \cdot BM \cdot MC \cdot \cos(\angle BMC)\]
• Подставляем значения: \[6^2 = (\sqrt{21})^2 + (\sqrt{21})^2 - 2 \cdot \sqrt{21} \cdot \sqrt{21} \cdot \cos(\angle BMC)\] \[36 = 21 + 21 - 2 \cdot 21 \cdot \cos(\angle BMC)\] \[36 = 42 - 42 \cdot \cos(\angle BMC)\] \[-6 = -42 \cdot \cos(\angle BMC)\] \[\cos(\angle BMC) = \frac{-6}{-42} = \frac{1}{7}\] \[\angle BMC = \arccos(\frac{1}{7}) \approx 81.79^\circ\]

Ответ: ∠BMC ≈ 81.79°

5. АВСА₁В₁С₁ — правильная усеченная пирамида, А₁В₁ = 6, AB = 12, h = √22. Найдите S_бок.

Краткое пояснение: Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды равна сумме площадей боковых граней. Каждая боковая грань — равнобедренная трапеция.

• Боковая поверхность: \[S_{бок} = 3 \cdot S_{трап}\]
• Высота трапеции \(h = \sqrt{22}\).
• Полусумма оснований трапеции: \(\frac{AB + A_1B_1}{2} = \frac{12 + 6}{2} = 9\).
• Площадь трапеции: \[S_{трап} = \frac{AB + A_1B_1}{2} \cdot h = 9 \cdot \sqrt{22}\]
• Площадь боковой поверхности: \[S_{бок} = 3 \cdot S_{трап} = 3 \cdot 9\sqrt{22} = 27\sqrt{22}\]

Ответ: \[S_{бок} = 27\sqrt{22}\]

6. SABC — правильная пирамида, ∠(SAC, BAC) = 45°, d(O, SAC) = √6. Найдите S_бок.

Краткое пояснение: Здесь нужно найти площадь боковой поверхности пирамиды, зная угол между боковой гранью и основанием, а также расстояние от центра основания до боковой грани.

• Пусть \(K\) — середина \(AC\), тогда \(SK\) — апофема.
• \(OK = d(O, SAC) = \sqrt{6}\).
• \(\angle OKA = 90^\circ\) (т.к. \(OK \perp AC\)).
• \(\angle SKO = 45^\circ\) (т.к. \(\angle(SAC, BAC) = 45^\circ\)).
• В прямоугольном треугольнике \(SOK\) \(\angle SKO = 45^\circ\), значит, \(SO = OK = \sqrt{6}\).
• Тангенс угла \(\angle SKO\): \[\tan(45^\circ) = \frac{SO}{OK} = \frac{\sqrt{6}}{OK}\] Отсюда \(OK = \sqrt{6}\).
• В треугольнике \(AOK\): \(AK = OK = \sqrt{6}\), т.к. углы при основании равны 45°.
• Сторона основания \(AC = 2 \cdot AK = 2\sqrt{6}\).
• Площадь основания: \[S_{осн} = \frac{(2\sqrt{6})^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{24 \sqrt{3}}{4} = 6\sqrt{3}\]
• Площадь боковой грани: \[S_{SAC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot SK = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{6} \cdot \sqrt{SO^2 + OK^2} = \sqrt{6} \cdot \sqrt{(\sqrt{6})^2 + (\sqrt{6})^2} = \sqrt{6} \cdot \sqrt{12} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}\]
• Площадь боковой поверхности: \[S_{бок} = 3 \cdot S_{SAC} = 3 \cdot 6\sqrt{2} = 18\sqrt{2}\]

Ответ: \[S_{бок} = 18\sqrt{2}\]

7. ABCD A₁B₁C₁D₁ — правильная усеченная пирамида, AB = 6, A₁B₁ = 4, ∠C₁CA = 45°. Найдите S_сеч.

Краткое пояснение: Здесь нужно найти площадь диагонального сечения усеченной пирамиды.

• Сечение \(ACC_1A_1\) — равнобедренная трапеция.
• \(AA_1C_1C\) - трапеция, \(AC = AB\sqrt{2} = 6\sqrt{2}\), \(A_1C_1 = A_1B_1\sqrt{2} = 4\sqrt{2}\).
• Проведём высоты \(A_1H\) и \(C_1G\) к основанию \(AC\).
• \(AH = GC = \frac{AC - A_1C_1}{2} = \frac{6\sqrt{2} - 4\sqrt{2}}{2} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}\).
• Так как \(\angle C_1CA = 45^\circ\), то \(AA_1H\) — прямоугольный, следовательно, \(AA_1H = AH = \sqrt{2}\).
• Площадь сечения: \[S_{сеч} = \frac{AC + A_1C_1}{2} \cdot AA_1H = \frac{6\sqrt{2} + 4\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{2} = \frac{10\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{2} = 5\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 10\]

Ответ: \[S_{сеч} = 10\]

8. АВСА₁В₁С₁ — правильная усеченная пирамида. АВ = 12, A₁B₁ = 6, ∠(BCC₁, ABC) = 30°. Найдите S_бок.

Краткое пояснение: Найдем высоту боковой грани, затем площадь боковой грани, а затем площадь всей боковой поверхности.

• Проведем \(C_1K \perp BC\), тогда \(\angle C_1KC = 30^\circ\).
• \(BK = \frac{AB - A_1B_1}{2} = \frac{12 - 6}{2} = 3\).
• В прямоугольном треугольнике \(C_1KC\): \[\tan(\angle BCC_1) = \frac{C_1K}{KC} = \tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}\] \[C_1K = \frac{KC}{\sqrt{3}}\] \[C_1K = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}\]
• Площадь трапеции: \[S_{трап} = \frac{BC + B_1C_1}{2} \cdot C_1K = \frac{12 + 6}{2} \cdot \sqrt{3} = 9\sqrt{3}\]
• Площадь боковой поверхности: \[S_{бок} = 3 \cdot S_{трап} = 3 \cdot 9\sqrt{3} = 27\sqrt{3}\]

Ответ: \[S_{бок} = 27\sqrt{3}\]