352 І уровень Контрольные работы Контрольная работа № 4 І вариант 3 1. Средние линии треугольника относятся как : 2 : 4, а периметр треугольника равен 45 см. Найдите стороны треугольника. 2. Медианы треугольника АВС пересекаются в точке О. Через точку О проведена прямая, параллельная стороне АС и пересекаю- щая стороны АВ и ВС в точках Е и F соответственно. Найдите EF, если сторона АС равна 15 см. -- 3. В прямоугольном треугольнике ABC (∠C = 90°) AC = 5 см, ВС = 5√3 см. Найдите угол В и гипотенузу AB. - 4. В треугольнике ABC ∠A = a, ∠C = в, сторона ВС = 7 см, ВН - высота. Найдите АН. 5. В трапеции ABCD продолжения боковых сторон пересекаются в точке К, причем точка В - середина отрезка АК. Найдите сумму оснований трапеции, если AD = 12 см. ІІ вариант 1. Стороны треугольника относятся как 4 : 5 : 6, а периметр тре- угольника, образованного его средними линиями, равен 30 см. Най- дите средние линии треугольника. 2. Медианы треугольника МПК пересекаются в точке О. Через точку О проведена прямая, параллельная стороне МК и пересекаю- щая стороны MN и МК в точках А и В соответственно. Найдите МК, если длина отрезка АВ равна 12 см. 3. В прямоугольном треугольнике РКТ (∠T = 90°), РТ = 7 √3 см, КТ = 7 см. Найдите угол К и гипотенузу КР. 4. В треугольнике ABC ∠A = α, ∠C = В, высота ВН равна 4 см. Найдите АС. 5. В трапеции МИКР продолжения боковых сторон пересекаются в точке Е, причем ЕК = КР. Найдите разность оснований трапеции, если NК = 7 см.

Средние линии треугольника относятся как 3:2:4, а периметр треугольника равен 45 см. Найдите стороны треугольника.

Логика такая:

Пусть средние линии треугольника будут 3x, 2x и 4x. Тогда периметр треугольника, образованного средними линиями, равен сумме длин этих средних линий: 3x + 2x + 4x = 9x.

Известно, что периметр треугольника равен 45 см, поэтому 9x = 45, откуда x = 5.

Тогда длины средних линий треугольника равны:

3x = 3 * 5 = 15 см,

2x = 2 * 5 = 10 см,

4x = 4 * 5 = 20 см.

Средние линии треугольника равны половине длин соответствующих сторон треугольника. Пусть стороны треугольника равны a, b и c. Тогда:

a = 2 * 15 = 30 см,

b = 2 * 10 = 20 см,

c = 2 * 20 = 40 см.

Однако, в условии задачи указано, что средние линии относятся как 3:2:4, а не наоборот. Поэтому, необходимо пересчитать длины сторон треугольника, используя правильное соотношение средних линий. Пусть средние линии равны 2x, 3x и 4x. Тогда периметр треугольника равен 2x + 3x + 4x = 9x.

Известно, что периметр треугольника равен 45 см, поэтому 9x = 45, откуда x = 5.

Тогда длины средних линий треугольника равны:

2x = 2 * 5 = 10 см,

3x = 3 * 5 = 15 см,

4x = 4 * 5 = 20 см.

Стороны треугольника равны удвоенным длинам соответствующих средних линий:

a = 2 * 10 = 20 см,

b = 2 * 15 = 30 см,

c = 2 * 20 = 40 см.

Сумма длин сторон треугольника должна быть равна периметру треугольника, т.е. 20 + 30 + 40 = 90 см. Однако, периметр треугольника равен 45 см. Значит, необходимо уменьшить длины сторон треугольника в два раза. Окончательно получим:

a = 20 / 2 = 10 см,

b = 30 / 2 = 15 см,

c = 40 / 2 = 20 см.

Ответ: 10 см, 15 см, 20 см.

Медианы треугольника ABC пересекаются в точке O. Через точку O проведена прямая, параллельная стороне AC и пересекающая стороны AB и BC в точках E и F соответственно. Найдите EF, если сторона AC равна 15 см.

Разбираемся:

Поскольку EF || AC, треугольники ABC и EBF подобны.

Медианы треугольника делятся точкой пересечения в отношении 2:1, считая от вершины. Значит, BO = (2/3) * медианы, проведенной из вершины B.

Тогда, EF / AC = BO / медиану, проведенную из вершины B.

EF / 15 = (2/3)

EF = 15 * (2/3) = 10 см.

Ответ: EF = 10 см.

Стороны треугольника относятся как 4:5:6, а периметр треугольника, образованного его средними линиями, равен 30 см. Найдите средние линии треугольника.

Логика такая:

Пусть стороны треугольника равны 4x, 5x и 6x. Тогда периметр треугольника равен 4x + 5x + 6x = 15x.

Средние линии треугольника равны половине длин соответствующих сторон треугольника. Значит, средние линии равны 2x, 2.5x и 3x.

Периметр треугольника, образованного средними линиями, равен 2x + 2.5x + 3x = 7.5x.

Известно, что периметр треугольника, образованного средними линиями, равен 30 см, поэтому 7.5x = 30, откуда x = 4.

Тогда длины средних линий треугольника равны:

2x = 2 * 4 = 8 см,

2.5x = 2.5 * 4 = 10 см,

3x = 3 * 4 = 12 см.

Ответ: 8 см, 10 см, 12 см.