І Вариант ∫(2/(x+√x)-3√x^5+x^3/2 cos²x+5)dx II Вариант ∫(4/(7√x⁶)-2/x+8/(x²+sin²x+14))dx

Решение:

І Вариант

1. ∫(2/(x+√x)-3√x⁵+x³/2 cos²x+5)dx = ∫(2/(x+√x))dx - ∫3√x⁵dx +∫x³/2 cos²xdx+ ∫5dx.
2. Рассмотрим интеграл ∫(2/(x+√x))dx = ∫(2/(√x(√x+1)))dx.
3. Замена переменной: u = √x, du = 1/(2√x) dx, dx = 2√x du = 2u du.
4. Тогда ∫(2/(√x(√x+1)))dx = ∫(2/(u(u+1)))2u du = ∫(4/(u+1)) du = 4 ln|u+1| + C = 4 ln|√x + 1| + C.
5. ∫3√x⁵dx = 3 ∫x^(5/2) dx = 3 * (x^(7/2))/(7/2) + C = (6/7) x^(7/2) + C.
6. ∫x³/2 cos²xdx = ∫x³/2 * (1+cos2x)/2 dx = 1/2 ∫x³/2 dx + 1/2 ∫x³/2 cos2x dx.
7. 1/2 ∫x³/2 dx = 1/2 * (x^(5/2))/(5/2) + C = (1/5) x^(5/2) + C.
8. Для ∫x³/2 cos2x dx используем интегрирование по частям.
9. Пусть u = x³/2, dv = cos2x dx. du = (3/2)x^(1/2) dx, v = 1/2 sin2x.
10. ∫x³/2 cos2x dx = (x³/2 * 1/2 sin2x) - ∫1/2 sin2x * (3/2)x^(1/2) dx = (x³/2 sin2x)/2 - 3/4 ∫x^(1/2) sin2x dx.
11. ∫5dx = 5x + C.

II Вариант

1. ∫(4/(7√x⁶)-2/x+8/(x²+sin²x+14))dx = ∫(4/(7x³))dx - ∫(2/x)dx + ∫(8/(x²+sin²x+14))dx.
2. ∫(4/(7x³))dx = 4/7 ∫x^(-3) dx = 4/7 * (x^(-2))/(-2) + C = -2/(7x²) + C.
3. ∫(2/x)dx = 2 ln|x| + C.
4. ∫(8/(x²+sin²x+14))dx = 8∫(1/(x²+sin²x+14))dx.
5. Данный интеграл не выражается через элементарные функции.

Ответ: Выше приведены интегралы.