I вариант. 1. Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке O. ∠ABO = 36°. Найдите угол AOB. 2. Найдите углы прямоугольной трапеции, если один из её углов равен 20°. 3. Стороны параллелограмма относятся как 1 : 2, а его периметр равен 30 см. Найдите стороны параллелограмма. 4. В равнобокой трапеции сумма углов при большем основании равна 96°. Найдите углы трапеции. 5*. Высота BM, проведённая из вершины угла ромба ABCD, образует со стороной AB угол 30°, AM = 4 см. Найдите длину диагонали BD ромба, если точка M лежит на стороне AD.

В прямоугольнике угол BAD равен 90°. В треугольнике AOB диагонали образуют равные углы с параллельными сторонами, поэтому ∠BAO = ∠ABO = 36°.

Тогда ∠AOB = 180° − 36° − 36° = 108°.

Ответ: 108°.

У прямоугольной трапеции два угла равны 90°. Два остальных угла в сумме составляют 180°.

Если один из углов равен 20°, это не может быть прямой угол, поэтому второй непрямой угол равен 180° − 20° = 160°.

Ответ: 20°, 90°, 90°, 160°.

Пусть стороны равны x и 2x. По условию периметр равен 30 см:

2(x + 2x) = 30, откуда 6x = 30 и x = 5.

Ответ: 5 см и 10 см.

В равнобокой трапеции углы при большем основании равны. Их сумма 96°, значит каждый равен 96° : 2 = 48°.

Соседние углы при боковой стороне в сумме равны 180°, поэтому каждый угол при меньшем основании равен 180° − 48° = 132°.

Ответ: 48°, 48°, 132°, 132°.

Так как BM — высота к стороне AD, то BM ⟂ AD. В прямоугольном треугольнике ABM угол ABM равен 30°, а AM = 4 см — катет, лежащий напротив угла 30°.

В прямоугольном треугольнике сторона напротив угла 30° равна половине гипотенузы, следовательно, AB = 2 · 4 = 8 см. Все стороны ромба равны, поэтому AD = 8 см.

Угол BAD равен 60° (он дополняет угол между AB и BM до 90°). В треугольнике ABD стороны AB и AD равны, а угол между ними равен 60°, поэтому треугольник ABD равносторонний.

Ответ: BD = 8 см.