I вариант. 1. При пересечении двух прямых один из углов равен 56°. Найдите градусные меры остальных углов. 2. Найдите градусные меры всех углов, полученных при пересечении двух параллельных прямых третьей прямой, если один из углов равен 43°. 3. В равнобедренном треугольнике один из углов при основании равен 34°. Найдите остальные два угла треугольника. 4. Треугольник ABC — прямоугольный, угол A = 30°. BD — высота, CD = 5 см. Найдите длину отрезка AD. 5. В треугольник ABC вписана окружность, которая касается стороны AB в точке P, стороны BC в точке G и стороны AC в точке R. AP = 6,4 см, BG = 3,2 см, CR = 4,4 см. Найдите периметр треугольника ABC.

1. Смежные углы в сумме дают 180°, а вертикальные углы равны:

\(180^\circ-56^\circ=124^\circ\).

Остальные углы: \(56^\circ\), \(124^\circ\), \(124^\circ\).

Ответ: 56°, 124°, 124°.

2. При пересечении параллельных прямых секущей вертикальные и соответственные углы равны, а смежные в сумме дают 180°:

\(180^\circ-43^\circ=137^\circ\).

Четыре угла равны 43°, четыре угла — 137°.

Ответ: четыре угла по 43° и четыре угла по 137°.

3. Углы при основании равнобедренного треугольника равны, поэтому второй угол при основании также равен 34°.

\(180^\circ-34^\circ-34^\circ=112^\circ\).

Ответ: 34° и 112°.

4. Так как \(\angle A=30^\circ\), катет \(BC\) равен половине гипотенузы \(AC\). Для высоты к гипотенузе справедливо: \(CD=\dfrac{BC^2}{AC}\), поэтому при таком соотношении \(CD=\dfrac{AC}{4}\).

Следовательно, \(AD=AC-CD=3CD\).

\(AD=3\cdot5=15\) см.

Ответ: 15 см.

5. Отрезки касательных, проведённых из одной точки к окружности, равны:

\(AP=AR=6,4\) см, \(BP=BG=3,2\) см, \(CG=CR=4,4\) см.

Тогда:

\(AB=AP+BP=6,4+3,2=9,6\) см;

\(BC=BG+CG=3,2+4,4=7,6\) см;

\(AC=AR+CR=6,4+4,4=10,8\) см.

\(P=9,6+7,6+10,8=28\) см.

Ответ: 28 см.