I вариант. 1) Сократите дробь: а) \(\frac{y^2-16}{3y+12}\); б) \(\frac{2a-4}{3(a-2)}\). 2) Упростите выражение: \(\frac{16}{x-4}-\frac{x^2}{x-4}\). 3) Выполните сложение или вычитание: а) \(\frac{5y-4}{6y}+\frac{y+2}{3y}\); б) \(\frac{b+2}{15b}-\frac{3c-5}{30c}\). 4) Преобразуйте в дробь выражение: \(\frac{2a+b}{2a^2-ab}-\frac{6a}{4a^2-b^2}-\frac{2a-b}{2a^2+ab}\). 5) Туристы прошли \(s\) км по шоссе со скоростью \(v\) км/ч и вдвое больший путь по проселочной дороге. Сколько времени \(t\) (в часах) затратили туристы, если по проселочной дороге они шли со скоростью на 2 км/ч меньшей, чем по шоссе? Найдите \(t\) при \(s=10, v=6\).

1а. Разложим числитель и знаменатель на множители: \(\frac{y^2-16}{3y+12}=\frac{(y-4)(y+4)}{3(y+4)}=\frac{y-4}{3}\), где \(y\ne-4\).

1б. \(\frac{2a-4}{3(a-2)}=\frac{2(a-2)}{3(a-2)}=\frac23\), где \(a\ne2\).

2. \(\frac{16}{x-4}-\frac{x^2}{x-4}=\frac{16-x^2}{x-4}=\frac{(4-x)(4+x)}{x-4}=-(x+4)\), где \(x\ne4\).

3а. Приведём дроби к знаменателю \(6y\): \(\frac{5y-4}{6y}+\frac{y+2}{3y}=\frac{5y-4+2(y+2)}{6y}=\frac{7y}{6y}=\frac76\), где \(y\ne0\).

3б. Общий знаменатель — \(30bc\): \(\frac{b+2}{15b}-\frac{3c-5}{30c}=\frac{2c(b+2)-b(3c-5)}{30bc}=\frac{5b+4c-bc}{30bc}\), где \(b\ne0, c\ne0\).

4. Разложим знаменатели: \(2a^2-ab=a(2a-b)\), \(4a^2-b^2=(2a-b)(2a+b)\), \(2a^2+ab=a(2a+b)\). Тогда общий знаменатель равен \(a(2a-b)(2a+b)\), а числитель — \((2a+b)^2-6a^2-(2a-b)^2=2a(4b-3a)\). После сокращения получаем \(\frac{2(4b-3a)}{(2a-b)(2a+b)}\). Ограничения: \(a\ne0\), \(2a-b\ne0\), \(2a+b\ne0\).

5. Время равно расстоянию, делённому на скорость. По шоссе туристы шли \(s/v\) часов, по просёлочной дороге — \(2s/(v-2)\) часов. Значит, \(t=\frac{s}{v}+\frac{2s}{v-2}\). Подставим значения: \(t=\frac{10}{6}+\frac{20}{6-2}=\frac53+5=\frac{20}{3}\) часа.

Ответ: 1а) \(\frac{y-4}{3}\); 1б) \(\frac23\); 2) \(-(x+4)\); 3а) \(\frac76\); 3б) \(\frac{5b+4c-bc}{30bc}\); 4) \(\frac{2(4b-3a)}{(2a-b)(2a+b)}\); 5) \(\frac{20}{3}\) часа.