I вариант. 2. В параллелограмме ABCD O — точка пересечения диагоналей. а) Упростите выражение \(\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{OB}\); б) Найдите \(\left|\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{OB}\right|\), если \(AD=8\) см, \(CD=6\) см, а перпендикуляр, опущенный из вершины D на диагональ AC, равен 4 см.

а) Введём \(\overrightarrow{AB}=\vec u\), \(\overrightarrow{AD}=\vec v\). Тогда:

\(\overrightarrow{CB}=-\vec v\), \(\overrightarrow{CD}=-\vec u\), \(\overrightarrow{BA}=-\vec u\), \(\overrightarrow{OB}=\dfrac{\vec u-\vec v}{2}\).

\[\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{OB}=-\vec v-\vec u+\vec u-\frac{\vec u-\vec v}{2}=-\frac{\vec u+\vec v}{2}=\overrightarrow{OA}.\]

б) Следовательно, искомая длина равна половине диагонали \(AC\). Для треугольника \(ADC\): \(AD=8\), \(DC=6\), высота к основанию \(AC\) равна 4. Возможны две конфигурации:

\[AC^2=68\pm32\sqrt{15}.\]

Поэтому

\[\left|\overrightarrow{OA}\right|=\frac{AC}{2}=\frac{\sqrt{68\pm32\sqrt{15}}}{2}\text{ см}.\]

Ответ: а) \(\overrightarrow{OA}\); б) \(\dfrac{\sqrt{68+32\sqrt{15}}}{2}\) см или \(\dfrac{\sqrt{68-32\sqrt{15}}}{2}\) см — в зависимости от расположения треугольника относительно диагонали.