I вариант. а) Упростить выражение \(\left(\frac{a-2}{a+2}-\frac{a+2}{a-2}\right):\frac{12a^2}{4-a^2}\). б) Упростить выражение \(\frac{5a}{a+3}+\frac{a-6}{3a+9}\cdot\frac{135}{6a-a^2}\). в) Упростить выражение \(\left(\frac{3m}{m+5}-\frac{8m}{m^2+10m+25}\right):\left(\frac{3m+7}{m^2-25}+\frac{5m-25}{m+5}\right)\).

а)

Сначала упростим разность дробей:

\(\frac{a-2}{a+2}-\frac{a+2}{a-2}=\frac{(a-2)^2-(a+2)^2}{a^2-4}=\frac{-8a}{a^2-4}.\)

Деление заменяем умножением на обратную дробь:

\(\frac{-8a}{a^2-4}\cdot\frac{4-a^2}{12a^2}=\frac{2}{3a}.\)

ОДЗ исходного выражения: \(a\ne-2,0,2\).

б)

Разложим знаменатели на множители и сократим:

\(\frac{a-6}{3a+9}\cdot\frac{135}{6a-a^2}=\frac{a-6}{3(a+3)}\cdot\frac{135}{a(6-a)}=-\frac{45}{a(a+3)}.\)

Тогда

\(\frac{5a}{a+3}-\frac{45}{a(a+3)}=\frac{5a^2-45}{a(a+3)}=\frac{5(a-3)(a+3)}{a(a+3)}=\frac{5(a-3)}{a}.\)

ОДЗ: \(a\ne-3,0,6\).

в)

Упростим выражение в первых скобках:

\(\frac{3m}{m+5}-\frac{8m}{(m+5)^2}=\frac{m(3m+7)}{(m+5)^2}.\)

Упростим выражение во вторых скобках:

\(\frac{3m+7}{(m-5)(m+5)}+\frac{5(m-5)}{m+5}=\frac{3m+7+5(m-5)^2}{m^2-25}=\frac{5m^2-47m+132}{m^2-25}.\)

Выполним деление:

\(\frac{m(3m+7)}{(m+5)^2}\cdot\frac{m^2-25}{5m^2-47m+132}=\frac{m(3m+7)(m-5)}{(m+5)(5m^2-47m+132)}.\)

ОДЗ: \(m\ne-5,5\), а также \(5m^2-47m+132\ne0\), поскольку делитель не должен быть равен нулю.

Ответ: а) \(\frac{2}{3a}\); б) \(\frac{5(a-3)}{a}\); в) \(\frac{m(3m+7)(m-5)}{(m+5)(5m^2-47m+132)}\), при указанных ограничениях.