І вариант 1. Диаметр шара равен высоте конуса, образующая которого составляет с плоскостью основания угол 60°. Найдите отношение объёмов конуса и шара. 2. Объём цилиндра равен 96л см², площадь его осевого сечения 48см². Найдите площадь сферы, описанной около цилиндра. 3. Металлический цилиндр весит 330 г. Сколько будет весить металлический шарик, вписанный в этот цилиндр, если и у цилиндра и у шарика одинаковый удельный вес.

І вариант

Задача 1

Отношение объёмов конуса и шара.

1. Шаг 1: Установим связь между параметрами конуса и шара.

Пусть радиус шара равен R, тогда высота конуса также равна 2R (так как диаметр шара равен высоте конуса). Угол между образующей конуса и плоскостью основания равен 60°, следовательно, радиус основания конуса равен \( R_{кон} = 2R \cdot tg(30°) = 2R \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} \).

2. Шаг 2: Вычислим объём конуса.

Объём конуса вычисляется по формуле \( V_{кон} = \frac{1}{3} \pi R_{кон}^2 h = \frac{1}{3} \pi (\frac{2R\sqrt{3}}{3})^2 2R = \frac{8\pi R^3}{9} \).

3. Шаг 3: Вычислим объём шара.

Объём шара вычисляется по формуле \( V_{шар} = \frac{4}{3} \pi R^3 \).

4. Шаг 4: Найдём отношение объёмов конуса и шара.

Отношение объёма конуса к объёму шара равно \( \frac{V_{кон}}{V_{шар}} = \frac{\frac{8\pi R^3}{9}}{\frac{4}{3} \pi R^3} = \frac{8\pi R^3 \cdot 3}{4 \pi R^3 \cdot 9} = \frac{2}{3} \).

Ответ: \( \frac{2}{3} \)

Задача 2

Площадь сферы, описанной около цилиндра.

1. Шаг 1: Определим параметры цилиндра.

Объём цилиндра равен \( V_{цил} = 96\pi \) см³, площадь осевого сечения \( S = 48 \) см². Если радиус цилиндра равен r, а высота h, то \( V_{цил} = \pi r^2 h = 96\pi \) и \( S = 2rh = 48 \), откуда \( rh = 24 \).

2. Шаг 2: Найдём радиус цилиндра.

Выразим h через r: \( h = \frac{24}{r} \). Подставим в формулу объёма: \( \pi r^2 \cdot \frac{24}{r} = 96\pi \), откуда \( r = 4 \) см, следовательно, \( h = 6 \) см.

3. Шаг 3: Найдём радиус сферы.

Радиус сферы, описанной около цилиндра, равен половине диагонали осевого сечения цилиндра. Диагональ осевого сечения равна \( d = \sqrt{h^2 + (2r)^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \) см, следовательно, радиус сферы \( R_{сферы} = \frac{d}{2} = 5 \) см.

4. Шаг 4: Вычислим площадь сферы.

Площадь сферы вычисляется по формуле \( S_{сферы} = 4\pi R_{сферы}^2 = 4\pi \cdot 5^2 = 100\pi \) см².

Ответ: \( 100\pi \) см²

Задача 3

Вес металлического шарика, вписанного в цилиндр.

1. Шаг 1: Установим связь между параметрами цилиндра и шара.

Пусть радиус шара и цилиндра равен r, а высота цилиндра равна 2r (так как шарик вписан в цилиндр). Объём цилиндра равен \( V_{цил} = \pi r^2 h = 2\pi r^3 \), объём шара равен \( V_{шар} = \frac{4}{3} \pi r^3 \).

2. Шаг 2: Найдём отношение объёмов шара и цилиндра.

Отношение объёма шара к объёму цилиндра равно \( \frac{V_{шар}}{V_{цил}} = \frac{\frac{4}{3} \pi r^3}{2\pi r^3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \).

3. Шаг 3: Вычислим вес шарика.

Так как удельный вес одинаков, вес пропорционален объёму. Если цилиндр весит 330 г, то шарик весит \( \frac{2}{3} \cdot 330 = 220 \) г.

Ответ: 220 г