І вариант 1) Найдите сторону основания u высоту правильной четырехугольной призмы, если площадь её полной поверхности равна 40 сий, а площадь боковой поверхности равна 32сий. 2) В прямом парамеленинеде с высотой 514 м стороны основания АВСД равния Зим и 4 лед диагонсель С равна 6 м. Найдите площадь диагонального сечения параллелепипеда, про-ходящего через вершишког Ви Д. 3) Найдите апофему правишьшой треуголь-ной пирамиды, у которой площадь боковой поверхности равна 6053сий, а площадь полной поверхности 10853 сей. 2 2

Задача 1

1. Обозначим: \(S_{полн}\) – площадь полной поверхности, \(S_{бок}\) – площадь боковой поверхности, \(S_{осн}\) – площадь основания.
   Тогда: \(S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн}\)
2. Выразим площадь основания:
   \(2S_{осн} = S_{полн} - S_{бок}\)
   \(2S_{осн} = 40 - 32 = 8\) см²
   \(S_{осн} = 8 : 2 = 4\) см²
3. Так как в основании квадрат, то сторона основания (a) равна:
   \(a = \sqrt{S_{осн}} = \sqrt{4} = 2 \) см
4. Площадь боковой поверхности равна сумме площадей 4-х боковых граней, каждая из которых – прямоугольник со сторонами a и h (высота призмы).
   Тогда: \(S_{бок} = 4ah\)
   Выразим высоту:
   \(h = \frac{S_{бок}}{4a} = \frac{32}{4 \cdot 2} = 4\) см

Ответ: Сторона основания 2 см, высота призмы 4 см.

Задача 2

1. Пусть ABCD – основание параллелепипеда, AC = 6 м – диагональ основания.
   Площадь диагонального сечения равна произведению диагонали основания на высоту параллелепипеда, то есть: \(S = AC \cdot h = 6 \cdot \sqrt{14} = 6\sqrt{14}\) м²

Ответ: \(6\sqrt{14}\) м²

Задача 3

1. Обозначим: \(S_{полн}\) – площадь полной поверхности, \(S_{бок}\) – площадь боковой поверхности, \(S_{осн}\) – площадь основания.
   Тогда: \(S_{полн} = S_{бок} + S_{осн}\)
2. Выразим площадь основания:
   \(S_{осн} = S_{полн} - S_{бок}\)
   \(S_{осн} = 108\sqrt{3} - 60\sqrt{3} = 48\sqrt{3}\) см²
3. В основании правильный треугольник, его площадь равна:
   \(S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\), где a – сторона основания.
   Выразим сторону основания:
   \(a = \sqrt{\frac{4S_{осн}}{\sqrt{3}}} = \sqrt{\frac{4 \cdot 48\sqrt{3}}{\sqrt{3}}} = \sqrt{192} = 8\sqrt{3}\) см
4. Площадь боковой поверхности пирамиды равна сумме площадей 3-х боковых граней, каждая из которых – равнобедренный треугольник с основанием a и высотой l (апофема).
   Тогда: \(S_{бок} = 3 \cdot \frac{1}{2}al = \frac{3}{2}al\)
   Выразим апофему:
   \(l = \frac{2S_{бок}}{3a} = \frac{2 \cdot 60\sqrt{3}}{3 \cdot 8\sqrt{3}} = \frac{120}{24} = 5\) см

Ответ: Апофема равна 5 см.