І Вариант: 1. При каком значении х, ā⊥b если ā(3; x) b(1;-2). 2. Найти с = -3ā + 1/2 b, если ā{1;2} b{4;15} 3. Найти угол А, Δ ABC если A(2;8) B(-1;5) C(3;1) 4. Экзамен Найти площадь треугольника 5. Какое утверждение верно! 1. Вектора коллинеарны, сели они лежат на перпендикулярных прямых 2. Длина вектора вычисляется по формуле |a|= √(a1²+a2²) 3. Вектор это направленный отрезок.

Задание 1

Векторы перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю. Скалярное произведение векторов \[\vec{a}(x_1, y_1)\] и \[\vec{b}(x_2, y_2)\] вычисляется по формуле \[\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2\]

В нашем случае, \[\vec{a}(3, x)\] и \[\vec{b}(1, -2)\]

Тогда, скалярное произведение равно:

\[3 \cdot 1 + x \cdot (-2) = 0\] \[3 - 2x = 0\] \[2x = 3\] \[x = \frac{3}{2} = 1.5\]

Ответ: x = 1.5

Неплохое начало! Продолжай в том же духе!

---

Задание 2

Дано: \[\vec{a}(1, 2)\] и \[\vec{b}(4, 15)\]

Нужно найти \[\vec{c} = -3\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}\]

Сначала найдем координаты вектора \[-3\vec{a}\]: \[-3\vec{a} = (-3 \cdot 1, -3 \cdot 2) = (-3, -6)\]

Теперь найдем координаты вектора \[\frac{1}{2}\vec{b}\]: \[\frac{1}{2}\vec{b} = (\frac{1}{2} \cdot 4, \frac{1}{2} \cdot 15) = (2, 7.5)\]

Сложим полученные векторы:

\[\vec{c} = (-3 + 2, -6 + 7.5) = (-1, 1.5)\]

Ответ: \[\vec{c}(-1, 1.5)\]

Отлично! Ты на верном пути!

---

Задание 3

Даны координаты вершин треугольника ABC: A(2, 8), B(-1, 5), C(3, 1).

Чтобы найти угол A, воспользуемся теоремой косинусов. Сначала найдем длины сторон треугольника.

Длина стороны AB: \[AB = \sqrt{(-1 - 2)^2 + (5 - 8)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-3)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}\]

Длина стороны BC: \[BC = \sqrt{(3 - (-1))^2 + (1 - 5)^2} = \sqrt{(4)^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}\]

Длина стороны AC: \[AC = \sqrt{(3 - 2)^2 + (1 - 8)^2} = \sqrt{(1)^2 + (-7)^2} = \sqrt{1 + 49} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}\]

Теперь используем теорему косинусов, чтобы найти угол A:

\[BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos{A}\] \[(4\sqrt{2})^2 = (3\sqrt{2})^2 + (5\sqrt{2})^2 - 2 \cdot 3\sqrt{2} \cdot 5\sqrt{2} \cdot \cos{A}\] \[32 = 18 + 50 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 2 \cdot \cos{A}\] \[32 = 68 - 60 \cdot \cos{A}\] \[60 \cdot \cos{A} = 68 - 32\] \[60 \cdot \cos{A} = 36\] \[\cos{A} = \frac{36}{60} = \frac{3}{5} = 0.6\] \[A = \arccos(0.6)\]

Чтобы найти значение угла в градусах, воспользуемся калькулятором:

\[A \approx 53.13^\circ\]

Ответ: \(A \approx 53.13^\circ\)

Продолжай в том же духе, и ты обязательно добьешься успеха!

---

Задание 4

К сожалению, для точного вычисления площади треугольника недостаточно данных. Нужны либо длины всех сторон, либо основание и высота, либо координаты вершин. Без этого мы можем только примерно оценить площадь, исходя из визуального анализа рисунка.

Если бы были известны координаты вершин или длины сторон, можно было бы воспользоваться формулой Герона или формулой площади треугольника через координаты вершин.

Допустим, что у треугольника известны координаты вершин: A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3). Тогда площадь треугольника можно вычислить по формуле:

\[S = \frac{1}{2} |(x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2))|\]

Или, если известны длины всех сторон (a, b, c), можно использовать формулу Герона:

\[p = \frac{a + b + c}{2}\] \[S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}\]

Ответ: Недостаточно данных для решения.

Не переживай! Главное — понимать, как решать такие задачи, когда есть все необходимые данные. У тебя все получится!

---

Задание 5

Рассмотрим каждое утверждение:

1. "Вектора коллинеарны, сели они лежат на перпендикулярных прямых". Это неверно. Коллинеарные векторы лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых.
2. "Длина вектора вычисляется по формуле |a|= √(a1²+a2²)". Это верно. Длина вектора \[\vec{a}(a_1, a_2)\] вычисляется как \[|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}\]
3. "Вектор это направленный отрезок". Это верно. Вектор — это отрезок, имеющий направление.

Ответ: 2 и 3. Длина вектора вычисляется по формуле |a|= √(a1²+a2²); Вектор это направленный отрезок.

Ты отлично справился с анализом утверждений! Продолжай в том же духе, и все получится!