І вариант. 1. Разложите но множители квадратный трехчлен a) 21² + 3x + 1; d) X²+4x+3; b) 2x² - 8x +3 2. Сократите дробь. a) x²-2x+15 1/8 - 5/11/15; d) & 1² + 4x +3 TX+ 3)(x+4) 2t² - 3x + 10.

1. Разложите на множители квадратный трехчлен:

a) $$2x^2 + 3x + 1$$

Для разложения квадратного трехчлена на множители необходимо решить квадратное уравнение $$2x^2 + 3x + 1 = 0$$.

Вычислим дискриминант: $$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$$.

Найдем корни уравнения: $$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 + 1}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$$

$$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 - 1}{4} = \frac{-4}{4} = -1$$

Разложение на множители: $$2x^2 + 3x + 1 = 2(x - x_1)(x - x_2) = 2(x + \frac{1}{2})(x + 1) = (2x + 1)(x + 1)$$

Ответ: $$(2x+1)(x+1)$$

---

б) $$x^2 + 4x + 3$$

Для разложения квадратного трехчлена на множители необходимо решить квадратное уравнение $$x^2 + 4x + 3 = 0$$.

Вычислим дискриминант: $$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4$$.

Найдем корни уравнения: $$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 2}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$

$$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 - 2}{2} = \frac{-6}{2} = -3$$

Разложение на множители: $$x^2 + 4x + 3 = (x - x_1)(x - x_2) = (x + 1)(x + 3)$$

Ответ: $$(x+1)(x+3)$$

---

в) $$2x^2 - 8x + 3$$

Для разложения квадратного трехчлена на множители необходимо решить квадратное уравнение $$2x^2 - 8x + 3 = 0$$.

Вычислим дискриминант: $$D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 64 - 24 = 40$$.

Найдем корни уравнения: $$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 + \sqrt{40}}{2 \cdot 2} = \frac{8 + 2\sqrt{10}}{4} = \frac{4 + \sqrt{10}}{2}$$

$$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 - \sqrt{40}}{2 \cdot 2} = \frac{8 - 2\sqrt{10}}{4} = \frac{4 - \sqrt{10}}{2}$$

Разложение на множители: $$2x^2 - 8x + 3 = 2(x - x_1)(x - x_2) = 2(x - \frac{4 + \sqrt{10}}{2})(x - \frac{4 - \sqrt{10}}{2})$$

Ответ: $$2(x - \frac{4 + \sqrt{10}}{2})(x - \frac{4 - \sqrt{10}}{2})$$

---

2. Сократите дробь:

a) $$\frac{x^2 - 2x + 15}{(x+3)(x+4)}$$

Квадратный трехчлен $$x^2 - 2x + 15$$ не раскладывается на множители, так как дискриминант отрицательный:

$$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15 = 4 - 60 = -56$$

Поэтому дробь не сокращается.

Ответ: Дробь не сокращается.

---

б) $$\frac{2x^2 + 7x + 3}{2x^2 - 3x + 10}$$

Квадратный трехчлен $$2x^2 + 7x + 3$$ имеет дискриминант:

$$D = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 - 24 = 25$$

Корни уравнения: $$x_1 = \frac{-7 + 5}{4} = -\frac{1}{2}$$, $$x_2 = \frac{-7 - 5}{4} = -3$$

Значит, $$2x^2 + 7x + 3 = 2(x + \frac{1}{2})(x + 3) = (2x + 1)(x + 3)$$

Квадратный трехчлен $$2x^2 - 3x + 10$$ имеет дискриминант:

$$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 10 = 9 - 80 = -71$$

Значит, он не раскладывается на множители.

Дробь $$\frac{2x^2 + 7x + 3}{2x^2 - 3x + 10} = \frac{(2x + 1)(x + 3)}{2x^2 - 3x + 10}$$ не сокращается.

Ответ: Дробь не сокращается.