I вариант. Упростите: 1) sin(π/2 + t) − cos(π − t); 2) sin²t · ctg²t − 1; 3) sin 10° + sin 50°; 4) sin 14° · cos 16°; 5) sin α · sin β + cos(α + β); 6) sin α − 2 sin(α/2 − 15°) · cos(α/2 + 15°); 7) sin(2π − t) − sin(3π/2 − t); 8) cos²t − cos 2t; 9) cos(360° − α) · tg(180° + α); 10) sin 5x · cos 3x + cos 5x · sin 3x; 11) (tg 25° + tg 20°)/(1 − tg 25° · tg 20°); 12) cos 15° + cos 45°; 13) 2 sin t · sin 2t + cos 3t; 14) (tg t + ctg t) · sin 2t.

1) sin(π/2 + t) = cos t, а cos(π − t) = −cos t. Поэтому cos t − (−cos t) = 2 cos t.

2) sin²t · ctg²t = sin²t · (cos²t/sin²t) = cos²t. Тогда cos²t − 1 = −sin²t.

3) По формуле суммы синусов: sin 10° + sin 50° = 2 sin 30° · cos 20° = cos 20°.

4) По формуле произведения: sin 14° · cos 16° = ½[sin 30° + sin(−2°)] = ¼ − ½ sin 2°.

5) cos(α + β) = cos α · cos β − sin α · sin β. После сложения с sin α · sin β остаётся cos α · cos β.

6) 2 sin(α/2 − 15°) · cos(α/2 + 15°) = sin α + sin(−30°) = sin α − ½. Значит, sin α − (sin α − ½) = ½.

7) sin(2π − t) = −sin t, а sin(3π/2 − t) = −cos t. Следовательно, −sin t − (−cos t) = cos t − sin t.

8) cos 2t = cos²t − sin²t. Поэтому cos²t − cos 2t = sin²t.

9) cos(360° − α) = cos α, tg(180° + α) = tg α. Тогда cos α · tg α = sin α.

10) По формуле синуса суммы: sin 5x · cos 3x + cos 5x · sin 3x = sin 8x.

11) По формуле тангенса суммы выражение равно tg(25° + 20°) = tg 45° = 1.

12) По формуле суммы косинусов: cos 15° + cos 45° = 2 cos 30° · cos 15° = √3 · cos 15° = (3√2 + √6)/4.

13) 2 sin t · sin 2t = cos(t − 2t) − cos(t + 2t) = cos t − cos 3t. После сложения с cos 3t получаем cos t.

14) tg t + ctg t = 1/(sin t · cos t), а sin 2t = 2 sin t · cos t. Поэтому произведение равно 2.