І вариант 1. В прямоугольной системе координат даны векторы а{3; -2} и Б{1; -2}. Найдите координаты вектора с = 52-96 и его длину. Постройте вектор с, если его конец совпадает с точкой M (3; 2). 2. Выясните, принадлежит ли точка А (1; √3) окружности с цен- тром в точке В (5; 0) и радиусом, равным √19? 3. Докажите, что четырехугольник MNKP, заданный координа- тами своих вершин М (2; 2), N (5; 3), K (6; 6), Р (3; 5), является ромбом и вычислите его площадь. 4.В равнобедренном треугольнике основание равно 12 см, а вы сота, проведенная к основанию, равна 8 см. Найдите медиану, проведенную к боковой стороне.

Решение:

1. Даны векторы $$\vec{a} = \{3; -2\}$$ и $$\vec{b} = \{1; -2\}$$. Необходимо найти координаты вектора $$\vec{c} = 5\vec{a} - 9\vec{b}$$ и его длину, а также построить вектор $$\vec{c}$$, если его конец совпадает с точкой M(3; 2).

   Найдем координаты вектора $$\vec{c}$$:

   $$\vec{c} = 5\vec{a} - 9\vec{b} = 5 \cdot \{3; -2\} - 9 \cdot \{1; -2\} = \{15; -10\} - \{9; -18\} = \{15-9; -10-(-18)\} = \{6; 8\}$$.

   Теперь найдем длину вектора $$\vec{c}$$:

   $$|\vec{c}| = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$$.

   Определим координаты начала вектора $$\vec{c}$$, зная, что его конец находится в точке M(3; 2). Пусть начало вектора имеет координаты (x; y). Тогда:

   $$\vec{c} = \{3 - x; 2 - y\} = \{6; 8\}$$.

   Отсюда получаем систему уравнений:

   $$\begin{cases} 3 - x = 6 \\ 2 - y = 8 \end{cases}$$

   Решая систему, находим:

   $$\begin{cases} x = 3 - 6 = -3 \\ y = 2 - 8 = -6 \end{cases}$$

   Итак, начало вектора $$\vec{c}$$ имеет координаты (-3; -6).

   Построение вектора на координатной плоскости:

         y
         ^
         |      M(3;2)
         |     .
         |    .
         |   .
      8--+--------->
         |  .
         | .
         |.
      0--+----------> x
         |   .  C{6;8}
         |    .|
         |     .|
         |------ начало вектора(-3;-6)
        -6 .|
         |  .|
         |   .
         ----------------->
       

   Ответ: Координаты вектора $$\vec{c} = \{6; 8\}$$, длина вектора |$$\vec{c}$$| = 10, начало вектора (-3; -6).

2. Необходимо выяснить, принадлежит ли точка A(1; $$\sqrt{3}$$) окружности с центром в точке B(5; 0) и радиусом, равным $$\sqrt{19}$$.

   Расстояние между точками A и B должно быть равно радиусу окружности, если точка A лежит на окружности.

   Найдем расстояние между точками A и B:

   $$AB = \sqrt{(5 - 1)^2 + (0 - \sqrt{3})^2} = \sqrt{4^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{16 + 3} = \sqrt{19}$$.

   Так как расстояние AB равно радиусу окружности, то точка A принадлежит окружности.

   Ответ: Точка A принадлежит окружности.

3. Необходимо доказать, что четырехугольник MNKP с вершинами M(2; 2), N(5; 3), K(6; 6), P(3; 5) является ромбом, и вычислить его площадь.

   Для доказательства, что MNKP - ромб, нужно показать, что все его стороны равны.

   Найдем длины сторон четырехугольника:

   $$MN = \sqrt{(5 - 2)^2 + (3 - 2)^2} = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$$.

   $$NK = \sqrt{(6 - 5)^2 + (6 - 3)^2} = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$$.

   $$KP = \sqrt{(3 - 6)^2 + (5 - 6)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$$.

   $$PM = \sqrt{(2 - 3)^2 + (2 - 5)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (-3)^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$$.

   Так как все стороны равны, то MNKP - ромб.

   Для вычисления площади ромба можно воспользоваться формулой S = d1 * d2 / 2, где d1 и d2 - диагонали ромба.

   Найдем длины диагоналей:

   $$MK = \sqrt{(6 - 2)^2 + (6 - 2)^2} = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$$.

   $$NP = \sqrt{(3 - 5)^2 + (5 - 3)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$$.

   $$S = (4\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{2}) / 2 = (8 \cdot 2) / 2 = 16 / 2 = 8$$.

   Ответ: Четырехугольник MNKP является ромбом, площадь равна 8.

4. В равнобедренном треугольнике основание равно 12 см, а высота, проведенная к основанию, равна 8 см. Необходимо найти медиану, проведенную к боковой стороне.

   Обозначим равнобедренный треугольник как ABC, где AB = BC, а AC - основание. Пусть M - середина AC, тогда BM - высота и медиана, BM = 8 см, AC = 12 см.

   Найдем AM = MC = AC / 2 = 12 / 2 = 6 см.

   Рассмотрим прямоугольный треугольник ABM. По теореме Пифагора:

   $$AB^2 = AM^2 + BM^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$$.

   $$AB = \sqrt{100} = 10 \text{ см}$$.

   Пусть D - середина AB. Тогда CD - медиана, проведенная к боковой стороне AB. Найдем длину CD.

   Координаты точек:

   A(-6; 0), B(0; 8), C(6; 0), D(-3; 4).

   $$CD = \sqrt{(6 - (-3))^2 + (0 - 4)^2} = \sqrt{(6 + 3)^2 + (-4)^2} = \sqrt{9^2 + 16} = \sqrt{81 + 16} = \sqrt{97}$$.

   Ответ: Медиана, проведенная к боковой стороне, равна $$\sqrt{97}$$ см.