I Варіант 1) (2 б) Знайдіть похідну функції f(x) = x⁵ - 1/3 x⁶ + 4x³ + 3x - 1 2) (2 б) Тіло рухається за законом S(t) = t³/3 - 3t² + 2t - 8, де S вимірюється в метрах, час - у секундах. Знайдіть значення t (у секундах), при якому миттєва швидкість матеріальної точки дорівнює 6 м/с 3) (2 б) Знайдіть похідну функції: f(x) = 3x / (x² - 5) 4) (3 б) Площа прямокутника 25 м². Якими повинні бути сторони цього прямокутника, щоб його периметр був найменшим? А) Задайте формулою функцію для якої необхідно буде знайти точку мінімуму. Б) Знайдіть довжини сторін прямокутника, що задовольняють умову завдання. 5) (3 б) Дослідіть функцію f(x) = x³ - 3x² + 12 на парність, проміжки монотонності, знайдіть точки екстремуму та екстремуми функції. Побудуйте графік цієї функції.

I Варіант

1) Знаходження похідної функції:

Дано функцію: \( f(x) = x^5 - \frac{1}{3}x^6 + 4x^3 + 3x - 1 \)

Знайдемо похідну \( f'(x) \) за правилами диференціювання:

\[ f'(x) = \frac{d}{dx}\left( x^5 - \frac{1}{3}x^6 + 4x^3 + 3x - 1 \right) \]

\[ f'(x) = 5x^{5-1} - \frac{1}{3} \cdot 6x^{6-1} + 4 \cdot 3x^{3-1} + 3 \cdot 1x^{1-1} - 0 \]

\[ f'(x) = 5x^4 - 2x^5 + 12x^2 + 3 \]

Відповідь: \( f'(x) = -2x^5 + 5x^4 + 12x^2 + 3 \)

2) Знаходження часу за заданою швидкістю:

Дано закон руху: \( S(t) = \frac{t^3}{3} - 3t^2 + 2t - 8 \)

Швидкість \( v(t) \) є похідною від шляху \( S(t) \):

\[ v(t) = S'(t) = \frac{d}{dt}\left( \frac{t^3}{3} - 3t^2 + 2t - 8 \right) \]

\[ v(t) = \frac{1}{3} \cdot 3t^{3-1} - 3 \cdot 2t^{2-1} + 2 \cdot 1t^{1-1} - 0 \]

\[ v(t) = t^2 - 6t + 2 \]

За умовою, миттєва швидкість дорівнює 6 м/с. Прирівняємо \( v(t) \) до 6:

\[ t^2 - 6t + 2 = 6 \]

\[ t^2 - 6t - 4 = 0 \]

Розв'яжемо квадратне рівняння відносно \( t \) за допомогою дискримінанта:

\[ D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 36 + 16 = 52 \]

\[ t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 \pm \sqrt{52}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{13}}{2} = 3 \pm \sqrt{13} \]

Оскільки час \( t \) не може бути від'ємним, обираємо додатне значення:

\( t = 3 + \sqrt{13} \) секунд.

Відповідь: \( t = 3 + \sqrt{13} \) с.

3) Знаходження похідної функції:

Дано функцію: \( f(x) = \frac{3x}{x^2 - 5} \)

Використаємо правило диференціювання дробу \( \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \). Тут \( u = 3x \) і \( v = x^2 - 5 \).

Знайдемо похідні \( u' \) і \( v' \):

\( u' = (3x)' = 3 \)

\( v' = (x^2 - 5)' = 2x \)

Тепер підставимо у формулу:

\[ f'(x) = \frac{3(x^2 - 5) - 3x(2x)}{(x^2 - 5)^2} \]

\[ f'(x) = \frac{3x^2 - 15 - 6x^2}{(x^2 - 5)^2} \]

\[ f'(x) = \frac{-3x^2 - 15}{(x^2 - 5)^2} = -\frac{3x^2 + 15}{(x^2 - 5)^2} \]

Відповідь: \( f'(x) = -\frac{3x^2 + 15}{(x^2 - 5)^2} \)

4) Побудова функції периметра прямокутника та знаходження мінімуму:

Нехай сторони прямокутника дорівнюють \( x \) і \( y \). Площа \( S = xy = 25 \text{ м}^2 \). Звідси \( y = \frac{25}{x} \).

Периметр \( P = 2(x + y) = 2\left(x + \frac{25}{x}\right) \). Нам потрібно знайти мінімум функції \( P(x) = 2x + \frac{50}{x} \) для \( x > 0 \).

А) Функція для знаходження мінімуму:

Функція периметра: \( P(x) = 2x + \frac{50}{x} \).

Б) Знаходження довжин сторін:

Знайдемо похідну функції \( P(x) \):

\[ P'(x) = \frac{d}{dx}\left(2x + 50x^{-1}\right) = 2 - 50x^{-2} = 2 - \frac{50}{x^2} \]

Прирівняємо похідну до нуля, щоб знайти критичні точки:

\[ 2 - \frac{50}{x^2} = 0 \]

\[ 2 = \frac{50}{x^2} \]

\[ x^2 = \frac{50}{2} = 25 \]

Оскільки \( x > 0 \), то \( x = 5 \) м.

Знайдемо відповідне значення \( y \):

\( y = \frac{25}{x} = \frac{25}{5} = 5 \) м.

Отже, щоб периметр був найменшим, прямокутник повинен бути квадратом зі стороною 5 м.

Відповідь:

А) \( P(x) = 2x + \frac{50}{x} \)

Б) Сторони прямокутника дорівнюють 5 м і 5 м.

5) Дослідження функції \( f(x) = x³ - 3x² + 12 \) та побудова графіка:

1. Парність:

\( f(-x) = (-x)^3 - 3(-x)^2 + 12 = -x^3 - 3x^2 + 12 \). Оскільки \( f(-x) \) не дорівнює \( f(x) \) і \( -f(x) \), функція не є ні парною, ні непарною.

2. Проміжки монотонності та точки екстремуму:

Знайдемо похідну:

\[ f'(x) = 3x^2 - 6x \]

Прирівняємо похідну до нуля:

\[ 3x^2 - 6x = 0 \]

\[ 3x(x - 2) = 0 \]

Критичні точки: \( x = 0 \) і \( x = 2 \).

Визначимо знаки похідної на інтервалах:

• На \( (-\infty, 0) \): \( f'(-1) = 3(-1)^2 - 6(-1) = 3 + 6 = 9 > 0 \) (функція зростає).


• На \( (0, 2) \): \( f'(1) = 3(1)^2 - 6(1) = 3 - 6 = -3 < 0 \) (функція спадає).


• На \( (2, \infty) \): \( f'(3) = 3(3)^2 - 6(3) = 27 - 18 = 9 > 0 \) (функція зростає).

3. Точки екстремуму та екстремуми:

• В точці \( x = 0 \) функція змінює зростання на спадання, отже, це точка локального максимуму.


• Значення максимуму: \( f(0) = 0^3 - 3(0)^2 + 12 = 12 \). Точка максимуму: \( (0, 12) \).


• В точці \( x = 2 \) функція змінює спадання на зростання, отже, це точка локального мінімуму.


• Значення мінімуму: \( f(2) = 2^3 - 3(2)^2 + 12 = 8 - 12 + 12 = 8 \). Точка мінімуму: \( (2, 8) \).

4. Побудова графіка:

Графік функції — кубічна парабола. Точки перетину з осями:

• З віссю Oy: \( x=0 \), \( y=12 \). Точка \( (0, 12) \).


• З віссю Ox: \( x^3 - 3x^2 + 12 = 0 \). Це рівняння важко розв'язати аналітично.

Побудуємо графік, враховуючи точки екстремуму та напрямок зростання/спадання.

Відповідь:

Парність: не є ні парною, ні непарною.

Проміжки монотонності: зростає на \( (-\infty, 0) \) та \( (2, \infty) \), спадає на \( (0, 2) \).

Точки екстремуму: \( (0, 12) \) — максимум, \( (2, 8) \) — мінімум.

Графік: кубічна парабола, що проходить через точки \( (0, 12) \) (максимум) та \( (2, 8) \) (мінімум).