І вариант M 5 6 A 9 K Найти cosk, sink, Sямк, h мк, мнк

Решение:

Рассмотрим треугольник AMK. Из условия известны длины всех трех сторон: AM = 5, MK = 6, AK = 9. Необходимо найти cos∠K, sin∠K, S_AMK, h_MK, m_MK.

1. Найдем косинус угла K, используя теорему косинусов: $$AM^2 = AK^2 + MK^2 - 2 \\cdot AK \\cdot MK \\cdot cos∠K$$ $$5^2 = 9^2 + 6^2 - 2 \\cdot 9 \\cdot 6 \\cdot cos∠K$$ $$25 = 81 + 36 - 108 \\cdot cos∠K$$ $$108 \\cdot cos∠K = 81 + 36 - 25$$ $$108 \\cdot cos∠K = 92$$ $$cos∠K = \\frac{92}{108} = \\frac{23}{27}$$
2. Найдем синус угла K, используя основное тригонометрическое тождество: $$sin^2∠K + cos^2∠K = 1$$ $$sin^2∠K = 1 - cos^2∠K$$ $$sin^2∠K = 1 - (\\frac{23}{27})^2$$ $$sin^2∠K = 1 - \\frac{529}{729}$$ $$sin^2∠K = \\frac{729 - 529}{729} = \\frac{200}{729}$$ $$sin∠K = \\sqrt{\\frac{200}{729}} = \\frac{\\sqrt{200}}{27} = \\frac{10\\sqrt{2}}{27}$$
3. Найдем площадь треугольника AMK, используя формулу Герона:
   1. Полупериметр: $$p = \\frac{AM + MK + AK}{2} = \\frac{5 + 6 + 9}{2} = \\frac{20}{2} = 10$$
   2. Площадь: $$S_{AMK} = \\sqrt{p(p - AM)(p - MK)(p - AK)} = \\sqrt{10(10 - 5)(10 - 6)(10 - 9)} = \\sqrt{10 \\cdot 5 \\cdot 4 \\cdot 1} = \\sqrt{200} = 10\\sqrt{2}$$
4. Найдем высоту h_MK, опущенную на сторону MK: $$S_{AMK} = \\frac{1}{2} \\cdot MK \\cdot h_{MK}$$ $$10\\sqrt{2} = \\frac{1}{2} \\cdot 6 \\cdot h_{MK}$$ $$h_{MK} = \\frac{2 \\cdot 10\\sqrt{2}}{6} = \\frac{10\\sqrt{2}}{3}$$
5. Найдем медиану m_MK, проведенную к стороне MK. Воспользуемся формулой медианы: $$m_{MK} = \\frac{1}{2} \\sqrt{2(AM^2 + AK^2) - MK^2} = \\frac{1}{2} \\sqrt{2(5^2 + 9^2) - 6^2} = \\frac{1}{2} \\sqrt{2(25 + 81) - 36} = \\frac{1}{2} \\sqrt{2(106) - 36} = \\frac{1}{2} \\sqrt{212 - 36} = \\frac{1}{2} \\sqrt{176} = \\frac{1}{2} \\sqrt{16 \\cdot 11} = \\frac{1}{2} \\cdot 4\\sqrt{11} = 2\\sqrt{11}$$

Ответ: cos∠K = $$\\frac{23}{27}$$, sin∠K = $$\\frac{10\\sqrt{2}}{27}$$, S_AMK = $$10\\sqrt{2}$$, h_MK = $$\\frac{10\\sqrt{2}}{3}$$, m_MK = $$2\\sqrt{11}$$