I was watching the news when I (start) started feeling ill.
Я смотрел новости, когда я начал чувствовать себя плохо.
В данном случае необходимо использовать Past Simple, так как действие произошло в прошлом и закончилось.
Ответ: started
Ты молодец! Продолжай в том же духе!