I bn=16.(-2)** T (ва)-геом. пр. 21 2 h-1 b=27-(-3) те Harimu: a) $$5-? 8). Sn-1 し 6) Ск-ко членов прогрессии сложи- , чтобы полу помрить 51 3 a=1 ~668(9,0) 672(a) 677(a)

Дано:

Два геометрических прогрессии:

• Первая прогрессия: $$b_n = 16 ·
  \left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}
• Вторая прогрессия: $$b_n = 27 ·
  \(\left\)\(-\frac{1}{3}\right\)^{n-1}

Найти:

1. $$S_5$$ для первой прогрессии.
2. $$S_n$$ для первой прогрессии.
3. Количество членов второй прогрессии, чтобы их сумма была равна $$\frac{61}{3}$$.

Решение:

1. Найдём $$S_5$$ для первой прогрессии.

Формула суммы первых $$n$$ членов геометрической прогрессии: $$S_n = b_1 \frac{1 - q^n}{1 - q}$$, где $$b_1$$ — первый член прогрессии, $$q$$ — знаменатель прогрессии.

Для первой прогрессии:

• $$b_1 = 16 ·
  \left(-\frac{1}{2}\right)^{1-1} = 16 ·
  \left(-\frac{1}{2}\right)^0 = 16 ·
  1 = 16
• $$q = -\(\frac{1}{2}\)

Подставляем в формулу суммы:

$$S_5 = 16 \frac{1 - \left(-\frac{1}{2}\right)^5}{1 - \left(-\frac{1}{2}\right)} = 16 \frac{1 - \left(-\frac{1}{32}\right)}{1 + \frac{1}{2}} = 16 \frac{1 + \frac{1}{32}}{\frac{3}{2}} = 16 \frac{\frac{33}{32}}{\frac{3}{2}} = 16 \cdot \frac{33}{32} \cdot \frac{2}{3} = \frac{16 \cdot 33 · 2}{32 · 3} = \frac{33 · 2}{2 · 3} = \frac{33}{3} = 11$$

2. Найдём $$S_n$$ для первой прогрессии.

Формула уже дана: $$S_n = b_1 \frac{1 - q^n}{1 - q}$$. Подставляем значения $$b_1 = 16$$ и $$q = -\frac{1}{2}$$:

$$S_n = 16 \frac{1 - \left(-\frac{1}{2}\right)^n}{1 - \left(-\frac{1}{2}\right)} = 16 \frac{1 - \left(-\frac{1}{2}\right)^n}{\frac{3}{2}} = 16 \cdot \frac{2}{3} · \left(1 - \left(-\frac{1}{2}\right)^n\right) = \frac{32}{3} · \left(1 - \left(-\frac{1}{2}\right)^n\right)$$

3. Найдем количество членов второй прогрессии, чтобы их сумма была равна $$\frac{61}{3}$$.

Для второй прогрессии:

• $$b_1 = 27 ·
  \left(-\frac{1}{3}\right)^{1-1} = 27 ·
  \left(-\frac{1}{3}\right)^0 = 27 ·
  1 = 27
• $$q = -\(\frac{1}{3}\)

Используем формулу суммы $$S_n = b_1 \frac{1 - q^n}{1 - q}$$ и приравниваем её к $$\frac{61}{3}$$:

$$
27 \frac{1 - \left(-\frac{1}{3}\right)^n}{1 - \left(-\frac{1}{3}\right)} = \frac{61}{3}$$

$$27 \frac{1 - \left(-\frac{1}{3}\right)^n}{\frac{4}{3}} = \frac{61}{3}$$

$$27 · \frac{3}{4} · \left(1 - \left(-\frac{1}{3}\right)^n\right) = \frac{61}{3}$$

$$
\frac{81}{4} · \left(1 - \left(-\frac{1}{3}\right)^n\right) = \frac{61}{3}$$

$$1 - \left(-\frac{1}{3}\right)^n = \frac{61}{3} · \frac{4}{81} = \frac{244}{243}$$

$$\left(-\frac{1}{3}\right)^n = 1 - \frac{244}{243} = \frac{243 - 244}{243} = -\frac{1}{243}$$

Так как $$243 = 3^5$$, то:

$$\left(-\frac{1}{3}\right)^n = -\frac{1}{3^5}$$

$$\left(-\frac{1}{3}\right)^n = \left(-\frac{1}{3}\right)^5$$

Следовательно, $$n = 5$$.

Ответ:

a) $$S_5 = 11$$

8) $$S_n = \frac{32}{3} \u00B7 \left(1 - \left(-\frac{1}{2}\right)^n\right)$$

6) $$n = 5$$