Identify all the geometric shapes in the image. For each shape, list its vertices and side lengths. Also, calculate the area and perimeter of each shape.

Анализ изображения:

На изображении представлен прямоугольный треугольник MNK с проведенной в нем высотой EF. Треугольник MNK является прямоугольным, так как в точке N у него прямой угол (обозначен квадратом).

1. Большой треугольник MNK:

• Тип: Прямоугольный треугольник.
• Вершины: M, N, K.
• Стороны:
  • MN = \( x \)
  • NK = \( y \)
  • MK = 13
• Углы: \( \angle N = 90^{\circ} \)
• Вычисления:
• По теореме Пифагора для треугольника MNK: \( MN^2 + NK^2 = MK^2 \) \( x^2 + y^2 = 13^2 \) \( x^2 + y^2 = 169 \)
• Площадь треугольника MNK: \( S_{MNK} = \frac{1}{2} \cdot MN \cdot NK = \frac{1}{2}xy \)
• Периметр треугольника MNK: \( P_{MNK} = MN + NK + MK = x + y + 13 \)

2. Малый треугольник EFK:

• Тип: Прямоугольный треугольник (так как EF перпендикулярно NK).
• Вершины: E, F, K.
• Стороны:
  • EF = 5
  • FK = ?
  • EK = ?
• Углы: \( \angle F = 90^{\circ} \)
• Вычисления:
• Треугольники MNK и EFK подобны, так как у них есть общий угол \( \angle K \) и по одному прямому углу.
• Из подобия треугольников MNK и EFK следует пропорция: \( \frac{EF}{MN} = \frac{FK}{NK} = \frac{EK}{MK} \)
• Подставим известные значения: \( \frac{5}{x} = \frac{FK}{y} = \frac{EK}{13} \)
• Из \( \frac{5}{x} = \frac{EK}{13} \) следует: \( EK = \frac{65}{x} \)
• Из \( \frac{5}{x} = \frac{FK}{y} \) следует: \( FK = \frac{5y}{x} \)
• Площадь треугольника EFK: \( S_{EFK} = \frac{1}{2} \cdot EF \cdot FK = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot \frac{5y}{x} = \frac{25y}{2x} \)
• Периметр треугольника EFK: \( P_{EFK} = EF + FK + EK = 5 + \frac{5y}{x} + \frac{65}{x} \)

3. Треугольник MEF:

• Тип: Прямоугольный треугольник (так как EF перпендикулярно NK, а MN перпендикулярно NK, значит EF параллельно MN).
• Вершины: M, E, F.
• Стороны:
  • EF = 5
  • MF = ?
  • ME = ?
• Углы: \( \angle F = 90^{\circ} \)
• Вычисления:
• Из того, что EF параллельно MN, и NK — секущая, следует, что \( \angle MEF = \angle MNK = 90^{\circ} \) (соответственные углы). Но так как EF перпендикулярно NK, то \( \angle EFN = 90^{\circ} \). Точки M, E, F образуют прямоугольный треугольник.
• MF = NK - FK = \( y - \frac{5y}{x} \)
• ME = MN - EF = \( x - 5 \)
• Площадь треугольника MEF: \( S_{MEF} = \frac{1}{2} \cdot ME \cdot EF = \frac{1}{2}(x-5) \cdot 5 = \frac{5(x-5)}{2} \)
• Периметр треугольника MEF: \( P_{MEF} = ME + EF + MF = (x-5) + 5 + (y - \frac{5y}{x}) = x + y - \frac{5y}{x} \)

Примечание: Точные численные значения сторон \( x \) и \( y \) не могут быть определены без дополнительной информации. Для полных расчетов необходимы либо \( x \), либо \( y \).