Идите корни уравнения 2 sin(π - x) sin(3π/2 + x) = sin x, принадлежащие отрезку [3π; 9π/2].

• Преобразуем уравнение, используя формулы приведения:

\[2 \sin(\pi - x) \sin\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) = \sin x\] \[2 \sin(x) (-\cos x) = \sin x\] \[-2 \sin(x) \cos(x) = \sin x\] \[2 \sin(x) \cos(x) + \sin x = 0\] \[\sin x (2 \cos x + 1) = 0\]

• Решаем уравнение \(\sin x = 0\):

\[x = \pi n, n \in \mathbb{Z}\]

• Решаем уравнение \(2 \cos x + 1 = 0\):

\[\cos x = -\frac{1}{2}\] \[x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}\]

• Проверяем, какие корни принадлежат отрезку \([3\pi; \frac{9\pi}{2}]\):

• Для \(x = \pi n\):

\[3\pi \le \pi n \le \frac{9\pi}{2}\] \[3 \le n \le 4.5\]

Целые значения \(n\): 3, 4. Корни: \(3\pi, 4\pi\)

• Для \(x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k\):

\[3\pi \le \frac{2\pi}{3} + 2\pi k \le \frac{9\pi}{2}\] \[3 \le \frac{2}{3} + 2k \le \frac{9}{2}\] \[\frac{7}{6} \le k \le \frac{23}{12}\]

Целое значение \(k\): 2. Корень: \(\frac{2\pi}{3} + 4\pi = \frac{14\pi}{3}\)

• Для \(x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k\):

\[3\pi \le -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k \le \frac{9\pi}{2}\] \[3 \le -\frac{2}{3} + 2k \le \frac{9}{2}\] \[\frac{11}{6} \le k \le \frac{31}{12}\]

Целое значение \(k\): 2. Корень: \(-\frac{2\pi}{3} + 4\pi = \frac{10\pi}{3}\)