If MK || AC, ∠B = 70°, then ∠AOC = ...

Дано:

• Треугольник ABC.
• MK || AC.
• ∠B = 70°.
• M – середина AB, K – середина BC (из рисунка).

Найти: ∠AOC.

Решение:

1. Признак подобия треугольников: Так как MK || AC, то ∆MBK ∽ ∆ABC (по двум углам: ∠B – общий, ∠BMK = ∠BAC – как соответственные углы при параллельных прямых MK и AC и секущей AB).
2. Отношение сторон: Так как M и K – середины сторон AB и BC соответственно, то MK – средняя линия ∆ABC. Следовательно, MB/AB = BK/BC = MK/AC = 1/2.
3. Углы ∆ABC: ∠B = 70°. Так как ∆MBK ∽ ∆ABC, то ∠BMK = ∠BAC и ∠BKM = ∠BCA.
4. Рассмотрим ∆AOC: O – центр окружности, вписанной в ∆ABC. Это значит, что AO – биссектриса ∠BAC, а CO – биссектриса ∠BCA.
5. Сумма углов в ∆ABC: ∠BAC + ∠BCA + ∠B = 180°.
6. ∠BAC + ∠BCA + 70° = 180°.
7. ∠BAC + ∠BCA = 180° - 70° = 110°.
8. Углы в ∆AOC: В ∆AOC: ∠OAC = ∠BAC / 2, ∠OCA = ∠BCA / 2.
9. ∠OAC + ∠OCA = (∠BAC + ∠BCA) / 2 = 110° / 2 = 55°.
10. Угол ∠AOC: Сумма углов в ∆AOC: ∠AOC + ∠OAC + ∠OCA = 180°.
11. ∠AOC + 55° = 180°.
12. ∠AOC = 180° - 55° = 125°.

Примечание: Из рисунка видно, что M и K являются серединами сторон AB и BC соответственно, что делает MK средней линией треугольника. Точка O является центром вписанной окружности, поэтому AO и CO - биссектрисы углов A и C.

Ответ: 125°