12 Игорь и Паша красят забор за 15 часов. Паша и Володя красят этот же забор за 21 час, а Володя и Игорь - за 28 часов. За сколько минут мальчики покрасят забор, работая втроем?

1. Определим скорость работы каждого мальчика:
   • Игорь и Паша вместе красят \(\frac{1}{15}\) часть забора в час.
   • Паша и Володя вместе красят \(\frac{1}{21}\) часть забора в час.
   • Володя и Игорь вместе красят \(\frac{1}{28}\) часть забора в час.
2. Сложим все эти скорости, чтобы узнать, какую часть забора они красят вместе, но при этом каждый будет учтен дважды:\\[\frac{1}{15} + \frac{1}{21} + \frac{1}{28} = \frac{196}{2940} + \frac{140}{2940} + \frac{105}{2940} = \frac{196+140+105}{2940} = \frac{441}{2940} = \frac{3}{20}\]
3. Так как каждый мальчик учтен дважды, поделим полученную сумму на 2, чтобы получить их общую скорость работы:\\[\frac{3}{20} : 2 = \frac{3}{20} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{40}\]
4. Теперь мы знаем, что Игорь, Паша и Володя вместе красят \(\frac{3}{40}\) часть забора в час. Чтобы узнать, за сколько часов они покрасят весь забор, нужно взять обратную величину этой дроби:\\[\frac{40}{3} = 13.\overline{3} \text{ часов}\]
5. Чтобы узнать, сколько это в минутах, умножим количество часов на 60:\\[13.\overline{3} \times 60 = \frac{40}{3} \times 60 = 40 \times 20 = 800 \text{ минуты}\]

Ответ: 800 минут