Игральную кость бросают дважды. Найдите вероятность события, противоположного событию А, если событие А состоит в том, что:

1. Оба раза выпало не больше 3 очков

Событие А: Оба раза выпало не больше 3 очков. Это значит, что при каждом броске выпало число 1, 2 или 3. Всего исходов при двух бросках $$6 imes 6 = 36$$. Благоприятных исходов для события А: $$3 imes 3 = 9$$.

Вероятность события А: $$P(A) = rac{9}{36} = rac{1}{4}$$.

Вероятность противоположного события (хотя бы один раз выпало больше 3 очков): $$P( ext{не } A) = 1 - P(A) = 1 - rac{1}{4} = rac{3}{4}$$.

2. В первый раз выпало больше трёх очков

Событие А: В первый раз выпало больше трёх очков (4, 5 или 6). Во второй раз может выпасть любое число (1-6). Благоприятных исходов для события А: $$3 imes 6 = 18$$.

Вероятность события А: $$P(A) = rac{18}{36} = rac{1}{2}$$.

Вероятность противоположного события (в первый раз выпало не больше трёх очков): $$P( ext{не } A) = 1 - P(A) = 1 - rac{1}{2} = rac{1}{2}$$.

3. В сумме выпало от 3 до 5 очков

Событие А: В сумме выпало от 3 до 5 очков. Возможные суммы: 3, 4, 5.

Комбинации, дающие в сумме 3: (1, 2), (2, 1) - 2 исхода.

Комбинации, дающие в сумме 4: (1, 3), (3, 1), (2, 2) - 3 исхода.

Комбинации, дающие в сумме 5: (1, 4), (4, 1), (2, 3), (3, 2) - 4 исхода.

Всего благоприятных исходов для события А: $$2 + 3 + 4 = 9$$.

Вероятность события А: $$P(A) = rac{9}{36} = rac{1}{4}$$.

Вероятность противоположного события (в сумме выпало меньше 3 или больше 5 очков): $$P( ext{не } A) = 1 - P(A) = 1 - rac{1}{4} = rac{3}{4}$$.

4. Произведение выпавших очков чётно

Событие А: Произведение выпавших очков чётно. Произведение будет чётным, если хотя бы одно из чисел чётное (2, 4, 6). Проще найти вероятность противоположного события: оба числа нечётные (1, 3, 5).

Количество исходов, где оба числа нечётные: $$3 imes 3 = 9$$.

Вероятность противоположного события (оба числа нечётные): $$P( ext{не } A) = rac{9}{36} = rac{1}{4}$$.

Вероятность события А (произведение чётно): $$P(A) = 1 - P( ext{не } A) = 1 - rac{1}{4} = rac{3}{4}$$.

5. В сумме выпало чётное число очков

Событие А: В сумме выпало чётное число очков. Чётная сумма получается, если оба числа чётные (2+2=4, 2+4=6, 4+2=6, 4+4=8, 2+6=8, 6+2=8, 4+6=10, 6+4=10, 6+6=12) или оба числа нечётные (1+1=2, 1+3=4, 3+1=4, 1+5=6, 5+1=6, 3+3=6, 3+5=8, 5+3=8, 5+5=10).

Количество чётных чисел: 3 (2, 4, 6). Количество нечётных чисел: 3 (1, 3, 5).

Количество исходов, где оба числа чётные: $$3 imes 3 = 9$$.

Количество исходов, где оба числа нечётные: $$3 imes 3 = 9$$.

Всего благоприятных исходов для события А: $$9 + 9 = 18$$.

Вероятность события А: $$P(A) = rac{18}{36} = rac{1}{2}$$.

Вероятность противоположного события (в сумме выпало нечётное число очков): $$P( ext{не } A) = 1 - P(A) = 1 - rac{1}{2} = rac{1}{2}$$.