Игральную кость бросили 13500 раз. Рассмотрим случайную величину Х: а) число бросков, при которых выпавшее число очков кратно 3; б) число бросков, при которых выпала пятёрка. Найдите D(X).

Краткое пояснение:

Решение:

Пусть X₁ — число бросков, при которых выпавшее число очков кратно 3, и X₂ — число бросков, при которых выпала пятёрка.

Тогда X = X₁ + X₂.

а) Вероятность того, что выпавшее число очков кратно 3 (то есть 3 или 6), равна \( p_1 = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \).

б) Вероятность того, что выпала пятёрка, равна \( p_2 = \frac{1}{6} \).

Определим математическое ожидание и дисперсию для X₁ и X₂:

Для X₁:

• \( E(X_1) = np_1 = 13500 \cdot \frac{1}{3} = 4500 \)
• \( D(X_1) = np_1(1-p_1) = 13500 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} = 3000 \)

Для X₂:

• \( E(X_2) = np_2 = 13500 \cdot \frac{1}{6} = 2250 \)
• \( D(X_2) = np_2(1-p_2) = 13500 \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{5}{6} = 1875 \)

Так как X = X₁ + X₂, то:

Математическое ожидание D(X):

Ответ: D(X) = 4875