ИГРАЛЬНЫЙ КУБИК ПОДБРАСЫВАЕТСЯ 12 РАЗ. РАССМАТРИВАЕТСЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА Y — ЧАСТОТА ВЫПАДЕНИЯ ДВОЕК. НАЙДИТЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ Y.

Дано:

• Игральный кубик подбрасывается n = 12 раз.
• Случайная величина Y — частота выпадения двоек.

Найти:

• Математическое ожидание E(Y).

Решение:

Случайная величина Y представляет собой долю (частоту) выпадения двоек в серии из 12 подбрасываний. Это можно представить как сумму независимых случайных величин:

1. Определим вспомогательную случайную величину X_i для каждого подбрасывания кубика:
• X_i = 1, если выпала двойка (с вероятностью p).
• X_i = 0, если не выпала двойка (с вероятностью 1 - p).
2. Вероятность выпадения двойки при одном подбрасывании честного игрального кубика равна p = 1/6.
3. Математическое ожидание одной такой случайной величины E(X_i) равно:
• E(X_i) = 1 * p + 0 * (1 - p) = p = 1/6
4. Случайная величина Y (частота выпадения двоек) равна сумме этих независимых случайных величин, деленной на общее число испытаний:
• Y = (X₁ + X₂ + ... + X₁₂) / 12
5. По свойству линейности математического ожидания, математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий:
• E(X₁ + X₂ + ... + X₁₂) = E(X₁) + E(X₂) + ... + E(X₁₂) = 12 * E(X_i) = 12 * (1/6) = 2
6. Теперь найдем математическое ожидание Y:
• E(Y) = E((X₁ + X₂ + ... + X₁₂) / 12) = (1/12) * E(X₁ + X₂ + ... + X₁₂) = (1/12) * 2 = 2/12 = 1/6

Альтернативный подход:

Случайная величина Y (частота выпадения двоек) является выборочным средним в выборке размера 12 из распределения Бернулли с параметром p = 1/6. Математическое ожидание выборочного среднего равно математическому ожиданию генеральной совокупности.

• Математическое ожидание числа выпадений двойки в одном испытании: p = 1/6.
• Следовательно, математическое ожидание частоты выпадения двойки равно p.

Ответ:

E(Y) = 1/6