Игральный кубик подбрасывается n раз. Рассматривается случайная величина Z – частота выпадения троек. Найдите математическое ожидание Z.

Решение:

Пусть \( X_i \) — случайная величина, которая равна 1, если при \( i \)-м броске выпала тройка, и 0 — в противном случае. Вероятность выпадения тройки при одном броске кубика равна \( p = \frac{1}{6} \).

Тогда математическое ожидание \( X_i \) равно:

\[ E(X_i) = 1 \cdot P(X_i=1) + 0 \cdot P(X_i=0) = 1 \cdot \frac{1}{6} + 0 \cdot \frac{5}{6} = \frac{1}{6} \]

Случайная величина \( Z \) — это частота выпадения троек, то есть среднее арифметическое величин \( X_i \) за \( n \) бросков:

\[ Z = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i \]

Математическое ожидание \( Z \) равно:

\[ E(Z) = E \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i \right) \]

Используя свойство линейности математического ожидания, получаем:

\[ E(Z) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} E(X_i) \]

Так как \( E(X_i) = \frac{1}{6} \) для всех \( i \), то:

\[ E(Z) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{6} = \frac{1}{n} \cdot n \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{6} \]

Ответ: E(Z) = \( \frac{1}{6} \).