II. 1. a ∥ α, M ∈ α. Докажите, что в плоскости α существует прямая b, проходящая через точку M и параллельная прямой a. 2. На рисунке 18 ABCD — параллелограмм, ∠ADC = 100°, AA₁ = BB₁ = CC₁ = DD₁ и AA₁ ∥ BB₁ ∥ CC₁ ∥ DD₁. Точка E лежит на D₁C₁. 1) Постройте линии пересечения плоскости AA₁E с плоскостями A₁D₁C₁, DD₁C₁ и ABC. 2) Чему равен угол между прямыми AD и D₁C₁?

1. Через точку M проведём плоскость, параллельную прямой a. Её пересечение с α — прямая b, проходящая через M. Поскольку a не лежит в α и параллельна α, эта прямая пересечения параллельна a. Следовательно, в α существует прямая b через M, параллельная a.

2.1. По рисунку E лежит на D₁C₁. Прямая AA₁ параллельна DD₁, CC₁ и BB₁.

1. Плоскость AA₁E пересекает плоскость A₁D₁C₁ по прямой A₁E.
2. Плоскость DD₁C₁ содержит E и прямую DD₁, параллельную AA₁. Поэтому линия пересечения — прямая через E, параллельная DD₁. Обозначим её пересечение с DC через F.
3. Плоскость ABC пересекается с плоскостью AA₁E по прямой AF.

2.2. В параллелограмме D₁C₁ ∥ DC. Угол между прямыми AD и DC — меньший из углов, образованных ими: 180° − ∠ADC = 180° − 100° = 80°.

Ответ: 80°.