II. (2 балла) Теплоход прошел 54 км по течению реки и 42 км против течения, затратив на весь путь 4 ч. Какова скорость теплохода в стоячей воде, если скорость течения реки равна 3 км/ч?

Решение:

Обозначим скорость теплохода в стоячей воде как \( v \) км/ч. Скорость течения реки равна 3 км/ч.

Скорость теплохода по течению: \( v + 3 \) км/ч.

Скорость теплохода против течения: \( v - 3 \) км/ч.

Время в пути по течению: \( t_1 = \frac{54}{v+3} \) ч.

Время в пути против течения: \( t_2 = \frac{42}{v-3} \) ч.

Общее время в пути: \( t_1 + t_2 = 4 \) ч.

Составим уравнение:

\[ \frac{54}{v+3} + \frac{42}{v-3} = 4 \]\[ \frac{54(v-3) + 42(v+3)}{(v+3)(v-3)} = 4 \]\[ \frac{54v - 162 + 42v + 126}{v^2 - 9} = 4 \]\[ \frac{96v - 36}{v^2 - 9} = 4 \]\[ 96v - 36 = 4(v^2 - 9) \]\[ 96v - 36 = 4v^2 - 36 \]\[ 4v^2 - 96v = 0 \]\[ 4v(v - 24) = 0 \]

Возможные значения \( v \): \( v = 0 \) или \( v = 24 \).

Так как скорость теплохода в стоячей воде не может быть равна 0, то \( v = 24 \) км/ч.

Проверим: Скорость по течению = 24 + 3 = 27 км/ч. Время = 54/27 = 2 ч. Скорость против течения = 24 - 3 = 21 км/ч. Время = 42/21 = 2 ч. Общее время = 2 + 2 = 4 ч. Условие выполнено.

Ответ: 24 км/ч.