II.9. При каких вещественных r и s выполнено равенство x³ + rx² + 2x − 1 = (x − s)(x² − 2x − 1) + 3?

Раскроем скобки в правой части:

\((x-s)(x^2-2x-1)+3=x^3+(-2-s)x^2+(2s-1)x+s+3\).

Для тождества коэффициенты при одинаковых степенях \(x\) и свободные члены должны совпадать. Из коэффициента при \(x\) получаем \(2s-1=2\), откуда \(s=\frac{3}{2}\). Но тогда свободный член справа равен \(s+3=\frac{9}{2}\), тогда как слева он равен \(-1\). Это противоречие.

Ответ: таких вещественных \(r\) и \(s\) нет.