II. Формулы 2) Найти sin(α+β), cos(α-β), если sin α = 0,6, cos β = 0,8, π/2 ≤ α ≤ π, π/2 ≤ β ≤ 2π

Решение:

2. Найти sin(α+β) и cos(α-β)

Дано:

• sin α = 0,6
• cos β = 0,8
• π/2 ≤ α ≤ π (α во II четверти)
• π/2 ≤ β ≤ 2π (β в III или IV четверти)

Сначала найдем cos α и sin β:

• Так как α во II четверти, cos α отрицателен.
• \[ cos α = -\sqrt{1 - sin^2 α} = -\sqrt{1 - (0,6)^2} = -\sqrt{1 - 0,36} = -\sqrt{0,64} = -0,8 \]
• Для sin β: нам известно, что cos β = 0,8. Так как β находится в диапазоне π/2 ≤ β ≤ 2π, это означает, что β может быть как в IV четверти (где sin β отрицателен), так и в III четверти (где sin β также отрицателен). Однако, если cos β = 0,8 (положительное значение), то β может быть только в IV четверти (3π/2 ≤ β ≤ 2π) или в I четверти (0 ≤ β ≤ π/2). Поскольку условие π/2 ≤ β ≤ 2π, то β находится в IV четверти.
• \[ sin β = -\sqrt{1 - cos^2 β} = -\sqrt{1 - (0,8)^2} = -\sqrt{1 - 0,64} = -\sqrt{0,36} = -0,6 \]

Теперь используем формулы суммы и разности синусов и косинусов:

• sin(α+β)
• \[ sin(α+β) = sin α cos β + cos α sin β = (0,6)(0,8) + (-0,8)(-0,6) = 0,48 + 0,48 = 0,96 \]
• cos(α-β)
• \[ cos(α-β) = cos α cos β + sin α sin β = (-0,8)(0,8) + (0,6)(-0,6) = -0,64 - 0,36 = -1 \]

3. Вычислить sin(α-600°) + cos(300°+α)

Преобразуем углы:

• sin(α-600°) = sin(α - 600° + 2 * 360°) = sin(α - 600° + 720°) = sin(α + 120°)
• cos(300°+α)

Используем формулы:

• \[ sin(α + 120°) = sin α cos 120° + cos α sin 120° \]
• \[ cos(300° + α) = cos 300° cos α - sin 300° sin α \]

Значения тригонометрических функций для 120° и 300°:

• cos 120° = -1/2
• sin 120° = √3/2
• cos 300° = 1/2
• sin 300° = -√3/2

Подставляем:

• \[ sin(α + 120°) = sin α \cdot (-\frac{1}{2}) + cos α \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{1}{2} sin α + \frac{\sqrt{3}}{2} cos α \]
• \[ cos(300° + α) = (\frac{1}{2}) cos α - (-\frac{\sqrt{3}}{2}) sin α = \frac{1}{2} cos α + \frac{\sqrt{3}}{2} sin α \]

Складываем:

• \[ (- \frac{1}{2} sin α + \frac{\sqrt{3}}{2} cos α) + ( \frac{1}{2} cos α + \frac{\sqrt{3}}{2} sin α) \]
• \[ = - \frac{1}{2} sin α + \frac{\sqrt{3}}{2} cos α + \frac{1}{2} cos α + \frac{\sqrt{3}}{2} sin α \]
• \[ = (\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}) sin α + (\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}) cos α \]

Ответ: sin(α+β) = 0,96, cos(α-β) = -1

Ответ: ( (√3-1)/2 ) sin α + ( (√3+1)/2 ) cos α