Ответ:

  1. «В сердце льстец всегда отыщет уголок» — басня «Ворона и Лисица».
  2. «А ларчик просто открывался» — басня «Ларчик».
  3. «У сильного всегда бессильный виноват» — басня «Волк и Ягнёнок».
  4. «Да только воз и ныне там» — басня «Лебедь, Щука и Рак».
  5. «А вы, друзья, как ни садитесь, всё в музыканты не годитесь» — басня «Квартет».
  6. «Кот Васька слушает, да ест» — басня «Кот и Повар».