II 1) log₀,₅ 1/x+4log₀,₅³√x=-1 2) le 100x lg 0,01x = 5 3) log₃(5x-1)-log₃(x+1)=0 4) log₁/₂(x²-4x-1)=-2 5) log₁/₂²x-log₁/₂x-6=

Решаю уравнения:

1. $$log_{0,5} \frac{1}{x} + 4 log_{0,5} \sqrt[3]{x} = -1$$

   $$log_{0,5} x^{-1} + 4 log_{0,5} x^{\frac{1}{3}} = -1$$

   $$-log_{0,5} x + \frac{4}{3} log_{0,5} x = -1$$

   $$\frac{1}{3} log_{0,5} x = -1$$

   $$log_{0,5} x = -3$$

   $$x = (0,5)^{-3}$$

   $$x = (\frac{1}{2})^{-3}$$

   $$x = 2^3$$

   $$x = 8$$

   Ответ: 8

2. $$lg 100x \cdot lg 0,01x = 5$$

   $$lg (10^2x) \cdot lg (10^{-2}x) = 5$$

   $$(lg 10^2 + lg x) \cdot (lg 10^{-2} + lg x) = 5$$

   $$(2 + lg x) \cdot (-2 + lg x) = 5$$

   Пусть $$t = lg x$$

   $$(2 + t) \cdot (-2 + t) = 5$$

   $$t^2 - 4 = 5$$

   $$t^2 = 9$$

   $$t_1 = 3, t_2 = -3$$

   $$lg x = 3$$ или $$lg x = -3$$

   $$x = 10^3 = 1000$$ или $$x = 10^{-3} = 0,001$$

   Ответ: 1000; 0,001

3. $$log_3(5x-1)-log_3(x+1)=0$$

   $$log_3(5x-1)=log_3(x+1)$$

   $$5x-1=x+1$$

   $$4x=2$$

   $$x=\frac{1}{2}$$

   Проверка:

   $$log_3(5\cdot \frac{1}{2}-1)-log_3(\frac{1}{2}+1) = log_3(\frac{3}{2})-log_3(\frac{3}{2})=0$$

   Ответ: 1/2

4. $$log_{\frac{1}{2}}(x^2-4x-1)=-2$$

   $$x^2-4x-1=\left(\frac{1}{2}\right)^{-2}$$

   $$x^2-4x-1=4$$

   $$x^2-4x-5=0$$

   $$D = 16 - 4\cdot 1\cdot (-5) = 16+20 = 36$$

   $$x_1=\frac{4+6}{2}=5$$

   $$x_2 = \frac{4-6}{2}=-1$$

   Ответ: 5; -1

5. $$log_{\frac{1}{2}}^2x-log_{\frac{1}{2}}x-6=0$$

   Пусть $$t=log_{\frac{1}{2}}x$$

   $$t^2-t-6=0$$

   $$D = 1 - 4\cdot 1\cdot (-6) = 1+24 = 25$$

   $$t_1=\frac{1+5}{2}=3$$

   $$t_2 = \frac{1-5}{2}=-2$$

   $$log_{\frac{1}{2}}x=3$$ или $$log_{\frac{1}{2}}x=-2$$

   $$x=\left(\frac{1}{2}\right)^3=\frac{1}{8}$$ или $$x=\left(\frac{1}{2}\right)^{-2}=4$$

   Ответ: 1/8; 4