II-нұсқа. 1. Анықталмаған интегралды есептеңіз: а) ∫(5x³ − 7x) dx; б) ∫sin 2x dx; в) ∫₀³(2x − 3)³ dx; г) ∫₀² dx/√(4x + 1). 2. Төмендегі сызықтармен шектелген фигура ауданын табыңыз: а) y = x² − 2x + 3; y = 3x − 1; б) y = 2x − 1; y = 0; x = 1; x = 3.

1.

1. Қосылғыштарды жеке интегралдаймыз: \(\int(5x^3-7x)\,dx=\frac{5}{4}x^4-\frac{7}{2}x^2+C\).
2. \(\int\sin 2x\,dx=-\frac{1}{2}\cos 2x+C\), өйткені \((\cos 2x)'=-2\sin 2x\).
3. Алғашқы функциясы \(\frac{(2x-3)^4}{8}\). Сондықтан \(\int_0^3(2x-3)^3\,dx=\left.\frac{(2x-3)^4}{8}\right|_0^3=\frac{3^4-(-3)^4}{8}=0\).
4. \(\int\frac{dx}{\sqrt{4x+1}}=\frac{1}{2}\sqrt{4x+1}\). Демек, \(\int_0^2\frac{dx}{\sqrt{4x+1}}=\left.\frac{1}{2}\sqrt{4x+1}\right|_0^2=2\).

2.

1. Қиылысу нүктелерін табамыз: \(x^2-2x+3=3x-1\), яғни \((x-1)(x-4)=0\). Шектер: \(1\) және \(4\). Бұл аралықта түзу параболадан жоғары, сондықтан \(S=\int_1^4[(3x-1)-(x^2-2x+3)]\,dx=\int_1^4(-x^2+5x-4)\,dx=\left[-\frac{x^3}{3}+\frac{5x^2}{2}-4x\right]_1^4=\frac{9}{2}\).
2. \([1,3]\) аралығында \(y=2x-1\) осьтен жоғары. Сондықтан \(S=\int_1^3(2x-1)\,dx=\left[x^2-x\right]_1^3=6\).

Жауабы: 1а) \(\frac{5}{4}x^4-\frac{7}{2}x^2+C\); 1б) \(-\frac{1}{2}\cos 2x+C\); 1в) 0; 1г) 2; 2а) \(\frac{9}{2}\); 2б) 6.